第8讲 三角变换与解三角形1.若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝________．答案：解析：∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋1－2sin2α＝，∴sin2α＝.∵α∈，∴sinα＝，∴α＝，∴tanα＝.2.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则a＝________.答案：2解析：由tanA＝2得sinA＝2cosA.又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝.∵b＝5，∠B＝，根据正弦定理，有＝，∴a＝＝＝2.3.若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝________．答案：5解析：由S△ABC＝2，得acsinB＝2，解得c＝4，由余弦定理可求得b.4.已知α是第三象限角，且sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，则sin2α＝________．答案：1解析：由sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，得tan2α＋tanα－2＝0，解得tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝＝＝1.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋＝，则角A的大小为__________．答案：解析：由1＋＝，得＝，即cosA＝，故A＝.6.设sinα＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝________．答案：解析：tanα＝－，tanβ＝－，tan2β＝－，故tan(α－2β)＝.7.在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大内角的余弦值为________．-4-\n答案：－解析：由余弦定理得c＝＝3，故最大角为B.8.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝__________．答案：6∶5∶4解析：∵A＞B＞C，∴a＞b＞c.设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA得3b＝20(b＋1)×.化简，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－(舍去)，∴a＝6，c＝4，∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.9.在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则＝____________．答案：解析：由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)－4(1－2sin2B)＝5，9sin2A＝4sin2B，＝＝.10.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则＝____________．答案：解析：设P(x，y)，tanα＝，tanβ＝，＝＝＝＝＝＝.11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)若cos＝sinA，求A的值；(2)若cosA＝，4b＝c，求sinB的值．解：(1)因为cos＝sinA，即cosAcos－sinAsin＝sinA，所以cosA＝sinA.显然cosA≠0，否则，由cosA＝0，得sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.(2)因为cosA＝，4b＝c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝15b2，所以a＝b.因为cosA＝，所以sinA＝＝.由正弦定理，得＝，所以sinB＝.-4-\n12.已知函数f(x)＝2cos.(1)设θ∈，且f(θ)＝＋1，求θ的值；(2)在△ABC中，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．解：(1)f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.由2cos＋＝＋1,得cos＝.于是θ＋＝2kπ±(k∈Z)，因为θ∈，所以θ＝－或.(2)因为∠C∈(0，π)，由(1)知∠C＝.因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2.①在△ABC中，设内角∠A、∠B的对边分别是a、b，由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7.②由①②可得或于是a＋b＝2＋.由正弦定理，得＝＝＝，所以sinA＋sinB＝(a＋b)＝1＋.13.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，＜C＜，且＝.(1)判断△ABC的形状；(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．解：(1)由＝及正弦定理有sinB＝sin2C，∴B＝2C或B＋2C＝π.若B＝2C，且＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2accosB＝4.又由(1)知a＝c，∴cosB＝.而cosB＝－cos2C，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，-4-\n∴·∈.-4-
