第19练 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的图象例1 (2022·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．破题切入点 考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等．答案 2，－解析 T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.又φ∈，∴φ＝－.题型二 三角函数的简单性质例2 (2022·山东)设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωx·cosωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．破题切入点 (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值；(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值．解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－×－sin2ωx-9-\n＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.题型三 三角函数图象的变换例3 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω>0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m＝________.破题切入点 由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值．答案 解析 依题意，可得＝，又T＝，故ω＝3，所以f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而最小正实数m＝.总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值．②-9-\n周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T＝求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解．(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的．本部分题目注意要将ωx＋φ当作一个整体．(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)最后确定平移的单位和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分．1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(0<φ<)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则函数解析式为________．答案 y＝2sin(4x＋)＋2解析 由题意得解得又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为，所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.又直线x＝是函数图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又∵0<φ<，故φ＝.故得y＝2sin(4x＋)＋2.2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为________．答案 -9-\n解析 f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin(2ωx－)＋，又由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为可知T＝3π，于是ω＝.3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度．(答案不唯一)答案 右 解析 由题意，得函数f(x)的周期T＝4＝，ω＝3，所以sin＝－1，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＝sin，所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)＝sin3x的图象．4.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.答案 解析 由图象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2.由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z.又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(2×0＋)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，-9-\n∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.5．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________.答案 解析 由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.6．将函数f(x)＝－4sin的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为________．答案 π解析 依题意可得y＝f(x)⇒y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]⇒y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]，因为所得图象关于直线x＝对称，所以g＝±4，得φ＝π＋π(k∈Z)．故φ的最小正值为.7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．答案 [－，3]解析 ∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝3sin(2x－)．∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，sin(2x－)∈[－，1]，-9-\n∴f(x)∈[－，3]．8．(2022·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．答案 π解析 ∵f(x)在上具有单调性，∴≥－，∴T≥.∵f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.又∵f＝－f，∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.∴T＝－＝，∴T＝π.9．函数f(x)＝sin(x∈R)的图象为C，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C关于直线x＝对称；②图象C关于点对称；③函数f(x)在区间内是增函数；④由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案 ①②③解析 当x＝时，f＝sin＝sin＝sin＝－1，为最小值，所以图象C关于直线x＝对称，所以①正确；当x＝时，f＝sin＝sinπ＝0，图象C关于点对称，所以②正确；当－≤x≤时，－≤2x－≤-9-\n，此时函数单调递增，所以③正确；y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2＝sin，所以④错误，所以正确的是①②③.10．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解 (1)f(x)＝sin2ωx＋－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(x)＝sint与y＝－k在区间上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.所以－<k≤或k＝－1.11．(2022·天津)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.-9-\n(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－cos2x＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g()．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值．解 (1)由题意，得·π＝2π2，所以ω＝1.又A＝2g()＝2tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin(x＋)．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x-9-\n＝×4×sin2(x＋)＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin(2x＋)，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3，即sin(2x＋)＝－.因为x∈[a，)，所以2x＋∈[2a＋，)，所以2a＋＝－，即a＝－.-9-
