第22练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一 平面向量数量积的基本运算例1 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为________．破题切入点 对于四边形OAPB中变化的量，可以是切线的长度、也可以是∠APB，这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示·；还可以建立平面直角坐标系，使问题数量化．答案 －3＋2解析 方法一 设||＝||＝x，∠APB＝θ，则tan＝，从而cosθ＝＝.·＝||·||·cosθ＝x2·＝＝＝x2＋1＋－3≥2－3，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时取等号，故·的最小值为2－3.方法二 设∠APB＝θ，0<θ<π，则||＝||＝.·＝||||cosθ＝()2cosθ-11-\n＝·(1－2sin2)＝.令x＝sin2，0<x≤1，则·＝＝2x＋－3≥2－3，当且仅当2x＝，即x＝时取等号．故·的最小值为2－3.方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，则·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝x－2x1x0＋x－y.由OA⊥PA⇒·＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0⇒x－x1x0＋y＝0，又x＋y＝1，所以x1x0＝1.从而·＝x－2x1x0＋x－y＝x－2＋x－(1－x)＝2x＋x－3≥2－3.故·的最小值为2－3.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为________．破题切入点 先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系，然后分别求出所求向量的数量积与模，代入公式求解即可；也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解．答案 解析 方法一 由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方，-11-\n整理可得a·b＝0.①由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方，可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②将①代入②，得b2＝3a2，即|b|＝|a|.而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝＝＝＝.又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.方法二 如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，可得||＝||＝2||，所以平行四边形OACB是矩形，＝＝a.从而||＝2||.在Rt△BOC中，||＝＝||，故cos∠BOC＝＝，所以∠BOC＝.-11-\n从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝.题型三 利用数量积求向量的模例3 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．破题切入点 建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值．答案 5解析 方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值为5.方法二 设＝x(0<x<1)，∴＝(1－x)，＝－＝－x，＝＋＝(1－x)＋，∴＋3＝＋(3－4x)，|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25，∴|＋3|的最小值为5.总结提高 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据模和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择，注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”．(2)求向量的夹角时要注意：①向量的数量积不满足结合律，②-11-\n数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角．1．(2022·课标全国Ⅱ改编)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.答案 1解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.2．(2022·四川改编)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.答案 2解析 因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2.3．(2022·江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．答案 解析 a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝.∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴＝.4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设＝a，＝b，＝p，则p·(b－a)＝________.答案 －-11-\n解析 以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为y－＝x－，即x－y－＝0.设P(x，x－)，则p＝(x，x－)，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－)＝－.5．在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是________．答案 (，]解析 由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内部．又⊥，＝＋，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，||取得最大值，当P在半径为的圆周上时，||取得最小值.6．(2022·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．-11-\n答案 22解析 由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.7．(2022·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.答案 ±3解析 由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.8．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．答案 解析 由e1·e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．答案 4解析 方法一 (坐标法)由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝.又A，B是定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)．由＝λ＋μ，可得⇒因为|λ|＋|μ|≤1，-11-\n所以|x|＋|－x|≤1.整理，得2|x|＋|y－x|≤2.当x≥0，且y－x≥0时，不等式为x＋y≤2；当x≥0，且y－x<0时，不等式为x－y≤2；当x<0，且y－x≥0时，不等式为x－y≥－2；当x<0，且y－x<0时，不等式为x＋y≥－2.画出不等式所表示的可行域，如图中的阴影部分所示．求得E(0,2)，F(－，－1)，C(0，－2)，D(，1)．显然该平面区域是一个矩形，边长EF＝2，ED＝2，故该平面区域的面积S＝EF×ED＝4.方法二 (向量法)由||＝||＝·＝2，知〈，〉＝.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB中，取＝λ，过点C作CD∥OB交AB于点D，作OE∥AB交OB于点E，显然＝λ＋.由于＝＝1－λ，所以＝(1－λ).于是＝λ＋(1－λ)＝λ＋μ＝.故当λ＋μ＝1时，点P在线段AB上．所以λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，其面积S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝4.10．(2022·安徽)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成，记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S有5个不同的值；-11-\n②若a⊥b，则Smin与|a|无关；③若a∥b，则Smin与|b|无关；④若|b|>4|a|，则Smin>0；⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为.答案 ②④解析 ∵xi，yi(i＝1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成，∴S＝xiyi，可能情况有以下三种：(1)S＝2a2＋3b2；(2)S＝a2＋2a·b＋2b2；(3)S＝4a·b＋b2.∵2a2＋3b2－(a2＋2a·b＋2b2)＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosθ≥0，a2＋2a·b＋2b2－4a·b－b2＝a2＋b2－2a·b≥0，∴S的最小值为Smin＝b2＋4a·b.因此S最多有3个不同的值，故①不正确．当a⊥b时，S的最小值为Smin＝b2与|a|无关，故②正确．当a∥b时，S的最小值为Smin＝b2＋4|a||b|或Smin＝b2－4|a||b|与|b|有关，故③不正确．当|b|>4|a|时，Smin＝b2＋4|a||b|cosθ≥b2－4|a||b|＝|b|(|b|－4|a|)>0，故④正确．当|b|＝2|a|时，由Smin＝b2＋4a·b＝8|a|2知，4a·b＝4a2，即a·b＝a2，∴|a||b|cosθ＝a2，∴cosθ＝，∴θ＝，故⑤不正确．因此正确命题的编号为②④.11．已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围．解 (1)因为a∥b，所以cosx＋sinx＝0.所以tanx＝－.故cos2x－sin2x＝＝＝.(2)f(x)＝2(a＋b)·b-11-\n＝2(sinx＋cosx，－)·(cosx，－1)＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋.由正弦定理，得＝，所以sinA＝＝＝.所以A＝或A＝.因为b>a，所以A＝.所以f(x)＋4cos(2A＋)＝sin(2x＋)－.因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．所以－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤－.所以f(x)＋4cos(2A＋)的取值范围为[－1，－]．12．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.(1)求|－|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．解 (1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|－|＝||＝14.(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.由余弦定理，得cosA＝＝.-11-\n由x＝＋t，y＝t＋，知k＝x·y＝(＋t)·(t＋)＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t＝80t2＋356t＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，k取得最小值516.-11-
