第8练 函数性质在运用中的巧思妙解题型一 直接考查函数的性质例1 “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件．破题切入点 首先找出f(x)在(0，＋∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件．答案 充要解析 当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．题型二 函数性质与其他知识结合考查例2 函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为________．破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果．答案 {2,3,4}解析 过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}．题型三 对函数性质的综合考查例3 已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．破题切入点 (1)直接根据f′(x)<0确定单调递减区间．(2)g(x)在[1，＋∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，-6-\n当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x1、x2∈[a，b]则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上递增．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上递减．(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则．(3)求函数的单调性问题还可以求导．(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称．(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数．如f(x)＝＋，为偶函数，而为奇函数．(6)求函数的单调性要注意先研究定义域．1．已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－a，则f(log3)＝________.答案 解析 由题意，可知函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝－a＝0，解得a＝，所以当x≥0时，f(x)＝－.所以f(log32)＝－-6-\n＝－＝－.从而f(log3)＝f(－log32)＝－f(log32)＝.2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝________.答案 337解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×＝335.而f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝335＋2＝337.3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－，2＋]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．答案 (－∞，－]解析 设x<0，则－x>0.f(－x)＝(－x)2，又∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－x2.∴f(x)在R上为增函数，且2f(x)＝f(x)．∴f(x＋t)≤2f(x)＝f(x)⇔x＋t≤x在[－2－，2＋]上恒成立，∵x＋t≤x⇔(－1)x≥t，要使原不等式恒成立，只需(－1)(－2－)≥t⇒t≤－即可．4．(2022·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．答案 解析 由题意知a>0，又loga＝log2a－1＝－log2a.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)，-6-\n∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈.5．函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2·f(20.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝(log)·f(log)，则a，b，c的大小关系是________．答案 b>a>c解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)关于y轴对称．所以函数y＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，函数y＝xf(x)单调递减，从而当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．因为1<20.2<2,0<ln2<1，log＝2，从而0<ln2<20.2<log，所以b>a>c.6．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是______________．答案 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数．所以f(4.5)＝f(4＋)＝f()，f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，f(6.5)＝f(4＋)＝f()．又f(x)在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知-6-\nf(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．7．已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log8(x＋1)，则f(－2013)＋f(2014)的值为________．答案 解析 当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．由函数f(x)在R上为偶函数，可得f(－2013)＝f(2013)，故f(2013)＝f(4×503＋1)＝f(1)，f(2014)＝f(4×503＋2)＝f(2)．而f(1)＝log8(1＋1)＝log82＝，f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝－log81＝0.所以f(－2013)＋f(2014)＝.8．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h(x)＝当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.9．(2022·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝不等式f(x)>x等价于或，解得：x>5或－5<x<0.10．已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列4个命题：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 ＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于-6-\n＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．11．设函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.(1)证明 方法一 设x1<x2，∴Δx＝x2－x1>0，∴f(Δx)>1，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．方法二 ∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1，∴f(0)＝1，∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1＝1，∴f(－x)＝2－f(x)．设x1<x2，∴x2－x1>0，∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)＋2－f(x1)－1＝f(x2)－f(x1)＋1>1，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．(2)解 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，∴－1<m<.12．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．解 (1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2－2)＋b(3－3)．∵2<2，a>0⇒a(2－2)<0，3<3，b>0⇒b(3－3)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，当a<0，b>0时，x>－，则x>log1.5；当a>0，b<0时，x<－，则x<log1.5.故a<0，b>0时，x∈(log1.5(－)，＋∞)；a>0，b<0时，x∈(－∞，log1.5(－))．-6-
