第18练 三角函数化简与求值策略题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值例1 已知tanα＝2，求：(1)的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．破题切入点 本题是关于正、余弦的齐次式，一般是同时除以余弦的相应次数，构造出关于该角的正切关系式，然后将正切值代入求解．解 (1)方法一 ∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴＝＝＝＝.方法二 由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得＝＝＝.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝＝＝＝.题型二 利用诱导公式化简与求值例2 (1)化简：；(2)求值：sin690°·sin150°＋cos930°·cos(－570°)＋tan120°·tan1050°.破题切入点 (1)利用诱导公式化成只含有角α的三角函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解．(2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算．解 (1)方法一 原式＝-7-\n＝＝＝＝－·＝－1.方法二 原式＝＝＝＝－1.(2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1080°－150°)·cos(720°－150°)＋tan(180°－60°)·tan(1080°－30°)＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°＝－＋＋1＝.题型三 利用其他公式、代换等化简求值例3 (1)已知α是锐角，且＝，求角α的值；(2)求值：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°.破题切入点 (1)利用平方差公式将分子展开，然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角α的某个三角函数，进而求出．(2)逆用两角和的正切公式．解 (1)∵＝＝＝＝＝-7-\n＝＝tanα，∴由已知可得tanα＝.又∵α是锐角，∴α＝.(2)tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝tan60°－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.总结提高 (1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，将较复杂的三角函数式进行化简，三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章．特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等都在求值的过程中起着重要作用．(2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时，要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号．(3)三角化简与求值是三角函数的基础，常用的方法有：①弦切互化：主要利用公式tanx＝进行弦切间的互化．②和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．③巧用1或其他数值的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan等．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化，整式化．1．若sin(π＋α)＝－，则cosα＝________.答案 ±解析 由sin(π＋α)＝－，得－sinα＝－，即sinα＝，∴cosα＝±＝±.2．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________．答案 －3解析 tanα＋tanβ＝3，tanα×tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝－3.3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．答案 解析 sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)[－cos(70°＋x)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)-7-\n＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝.4．的值是________．答案 解析 原式＝＝＝＝sin30°＝.5．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝________.答案 解析 ∵cos＝，0<α<，∴sin＝.又∵cos＝，－<β<0，∴sin＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.6．(2022·课标全国Ⅰ改编)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则2α－β＝________.答案 解析 由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)．∵α∈(0，)，β∈(0，)，-7-\n∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，∴2α－β＝.7．已知tanα＝2，则的值为________．答案 解析 ＝＝＝tanα＋＝.8.·的值为________．答案 1解析 原式＝·＝·＝1.9．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.答案 －解析 方法一 因为sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－.由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.又sinθcosθ＝－<0，所以sinθ>0，cosθ<0.所以sinθ＝，cosθ＝－.所以tanθ＝＝－.-7-\n方法二 同法一，得sinθcosθ＝－，所以＝－.齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tanθ＝－或tanθ＝－.又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝>0，sinθcosθ＝－<0.所以θ∈(，)，所以tanθ＝－.10．已知sinθ＋cosθ＝(0<θ<)，则sinθ－cosθ的值为________．答案 －解析 ∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2cosθsinθ＝，∴2cosθcosθ＝，∴(sinθ－cosθ)2＝1－＝，又θ∈(0，)，∴sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－.11．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.(1)求tan2α的值；(2)求β.解 (1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.∴tanα＝＝×＝4，于是tan2α＝＝＝－.(2)由0<β<α<，得0<α－β<，-7-\n又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.12．已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos(＋)的值．解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，∴a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，∵cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈(，2π)，∴tanα<0，∴tanα＝－.(2)∵α∈(，2π)，∴∈(，π)．由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.-7-
