第11练 寻图有道，破解有方——函数的图象问题题型一 对函数图象的直接考查例1 函数y＝的图象大致是________．破题切入点 从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值．答案 ③解析 由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除①；当x＝－1时，y＝＝>0，可排除②；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从④的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除④.故③符合要求．题型二 对函数零点的考查例2 已知函数f(x)满足f(x)＝f()，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx．若在区间[，3]内，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．破题切入点 求出f(x)在[，3]上的解析式，数形结合解决．答案 [，)解析 由题意可知当x在区间[，1]内时，∈[1,3]，f(x)＝f()＝ln＝－lnx，则f(x)＝函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，即f(x)－ax＝0有三个不同的根，即f(x)＝ax有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，当x在区间[，1)上时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有一个交点，当x∈[1,3]时，函数f(x)的图象与直线y＝ax有两个交点．当直线y＝ax过点(3，ln3)时，a的值满足ln3＝3a，即a＝；当直线y＝ax与f(x)相切时，设切点为(x0，lnx0)，则点(x0，lnx0)在直线上，故lnx0＝ax0，而a＝(lnx)′|＝，所以lnx0＝1，x0＝e，即a＝＝-6-\n，函数f(x)的图象与直线y＝ax有三个不同的交点，则a的取值范围是[，)．题型三 综合考查函数图象例3 已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．破题切入点 (1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换．(2)求出g(x)的解析式，根据二次函数求字母a的取值范围．解 (1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B′(x′，y′)，则∴∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2.∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.(2)∵g(x)＝x2＋ax＋1，又g(x)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4.∴a的取值范围为(－∞，－4]．总结提高 (1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法．(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确．1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________．答案 (－3,1)∪(3，＋∞)解析 画出分段函数的图象如图，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3.所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．2．已知函数y＝-6-\n，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．答案 1解析 图象平移后的函数解析式为y＝－b，由题意知－b＝0，∴ab＝1.3．(2022·山东改编)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．答案 (，1)解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为________．答案 2解析 由图象知f(3)＝1，∴＝1，∴f()＝f(1)＝2.5．(2022·湖北改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为________．答案 [－，]解析 因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；-6-\n当a2<x<2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.6.定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f(x)>x的解集为________________．答案 [－2，－)∪(0，)解析 依题意，画出y＝f(x)与y＝x的图象，如图所示，注意到y＝f(x)的图象与直线y＝x的交点坐标是(，)和(－，－)，结合图象可以求得解集为[－2，－)∪(0，)．7．已知定义在R上的函数f(x)满足：①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；②对∀x∈R，f(－x)＝f(＋x)成立；③当x∈(－，－]时，f(x)＝log2(－3x＋1)．则f(2014)＝________.答案 －2解析 由①知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②知函数图象关于直线x＝对称，即f(－x)＝f(＋x)，由奇函数可得f(x)＝－f(-6-\n＋x)，据此可推出f(＋x)＝－f(3＋x)，则有f(x)＝f(x＋3)，故函数以3为周期，因此f(2014)＝f(1)＝－f(－1)＝－log24＝－2.8．已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](a<b)，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是________．答案 4解析 由f(x)＝x2＋1＝1，得x＝0；由f(x)＝x2＋1＝5，得x2＝4，即x＝±2.如图所示，根据题意，得或所以点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，其面积为4.9．(2022·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．答案 (0，)解析 作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0<a<.10．方程＋＝－1的曲线即为函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)，有如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点；③函数y＝f(x)的值域是R；④f(x)的图象不经过第一象限．其中正确的有________．答案 ①②③④解析 由方程＋＝－1可知，-6-\nx，y不可能同时大于0，分类讨论：当x<0，y≥0时，－＝1表示双曲线的一部分；当x<0，y<0时，＋＝1表示椭圆的一部分；当x≥0，y<0时，－＝1表示双曲线的一部分；作出图象可知①③④正确，对于②的判断：由于y＝－x是双曲线－＝1和－＝1的渐近线，所以结合图形可知曲线y＝f(x)与直线y＝－x没有交点，则F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点．11．已知函数f(x)＝xk＋b(其中k，b∈R且k，b为常数)的图象经过A(4,2)、B(16,4)两点．(1)求f(x)的解析式；(2)如果函数g(x)与f(x)的图象关于直线y＝x对称，解关于x的不等式：g(x)＋g(x－2)>2a(x－2)＋4.解 (1)⇒b＝0，k＝⇒f(x)＝.(2)设M(x，y)是曲线y＝g(x)上任意一点，由于函数g(x)与f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以M(x，y)关于直线y＝x的对称点M′(y，x)必在曲线y＝f(x)上，所以x＝，即y＝x2，所以g(x)＝x2(x≥0)，于是g(x)＋g(x－2)>2a(x－2)＋4⇔⇔.①若a≤2，则不等式的解集为{x|x>2}；②若a>2，则不等式的解集为{x|x>a}．12．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－2mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.①当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故⇒⇒②当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故⇒⇒故a＝1或a＝－1，b＝0或b＝3.(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.若g(x)在[2,4]上单调，则≤2或≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).-6-
