第21练 平面向量中的线性问题题型一 平面向量的线性运算例1 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝________.(用和表示)破题切入点 顺次连结，选好基底．答案 －解析 在△CEF中，有＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.题型二 平面向量基本定理及其应用例2 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.破题切入点 利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量．解 在△ADM中，＝－＝c－.①在△ABN中，＝－＝d－.②-7-\n由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)．题型三 平面向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.破题切入点 向量坐标表示下的线性运算．解 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以得(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．由题意得得或∴d＝(3，－1)或(5,3)．总结提高 (1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础．(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．答案 (，－)解析 由题意知＝(3，－4)，所以与同方向的单位向量为＝(，－)．2．(2022·课标全国Ⅰ改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则化简：＋＝________.答案 -7-\n解析 如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.3．(2022·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.答案 解析 ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝.4．(2022·福建改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则化简：＋＋＋＝________.答案 4解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.5.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝2，||＝，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ和μ的值分别为________．答案 2，解析 设与，同方向的单位向量分别为a，b，依题意有＝4a＋2b，又＝2a，＝b，-7-\n则＝2＋，所以λ＝2，μ＝.6．(2022·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案 2解析 由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.7．(2022·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 解析 如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.8．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n>0)，则＋的最小值为________．答案 解析 ＝－＝－＝＋.同理＝＋，M，O，N三点共线，故＋＝λ，-7-\n即＋＝0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝.9．(2022·天津改编)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝________.答案 解析 ∵＝＋λ，＝＋μ，∴·＝(＋λ)·(＋μ)＝·＋μ·＋λ·＋λμ·＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝.①∵·＝(1－λ)·(1－μ)＝(λμ－λ－μ＋1)·＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②由①②解得λ＋μ＝.10．在平面内，已知||＝1，||＝，·＝0，∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________.答案 ±3解析 因为∠AOC＝30°，所以〈，〉＝30°.-7-\n因为＝m＋n，·＝0，所以||2＝(m＋n)2＝m2||2＋n2||2＝m2＋3n2，即||＝.又·＝·(m＋n)＝m2＝m，则·＝||·||cos30°＝m，即1××＝m，平方得m2＝9n2，即＝9，所以＝±3.11．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．(1)证明 ∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，∴与共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；-7-\n(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．(1)解 ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明 当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．(3)解 当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2)．又＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2)．又||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.-7-
