第20练 平面向量中的线性问题[题型分析·高考展望] 平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析题型一 平面向量的线性运算及应用例1 (1)(2022·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－(2)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量. 点评 平面向量的线性运算应注意三点：10\n(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)(2022·杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k，则λ＋k等于( )A.1＋B.2－C.2D.＋2(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)(2022·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为_______________________________________________________________.(2)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 10\n点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2 (1)(2022·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________.(2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.高考题型精练1.(2022·四川)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于( )A.2B.3C.4D.62.(2022·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥3.(2022·长春调研)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为( )A.1B.C.D.4.(2022·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于( )A.B.C.D.10\n5.(2022·潍坊模拟)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n>0)，则＋的最小值为( )A.2B.4C.D.97.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.8.已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为______.9.(2022·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.10.(2022·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.10\n11.(2022·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.12.(2022·常州模拟)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值. 答案精析第20练 平面向量中的线性问题常考题型精析例1 A[∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.](2)解 由D，O，C三点共线，可设＝k1＝k1(－)＝k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，＝k2＝k2(－)＝k2(b－a)＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①又＝＋＝－a＋(－k1a＋k1b)＝－(1＋k1)a＋k1b，②10\n由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.又a，b不共线，所以⇒所以＝－a＋b.所以＝＋＝a＋＝(a＋b).变式训练1 (1)A (2)解析 根据向量的基本定理可得＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋－(－)＝·＋.所以λ＝，k＝1＋.所以λ＋k＝1＋.故选A.(2)依题意得＝＋＋＝＋－＝＋，＝＋＝＋；又＝λ＋μ，于是有＝λ＋μ＝·＋；又与不共线，因此有10\n由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝.例2 (1)－3解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.(2)解 ①由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，∴得②a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－.③设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5,3).变式训练2 (1)＋1 (2)m≠解析 (1)设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值.∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.(2)因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有＝，解得m＝，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠.高考题型精练10\n1.B[a＝(2,4)，b＝(x,6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.]2.D[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.]3.D[过C作CE⊥x轴于点E(图略).由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.]4.C[如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.]5.C[若a＝(4,2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；∵a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2).因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.]6.C[＝－＝－＝＋.同理＝＋，又M，O，N三点共线，故＋＝λ，10\n即＋＝0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝.(当且仅当n＝2m时，等号成立)]7.4解析 以向量a和b的交点为原点建直角坐标系(图略)，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.8.1解析 由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.9.解析 ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝.10.解析 因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.11. －解析 ＝＋＝＋10\n＝＋(－)＝－，∴x＝，y＝－.12.(1)解 ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2).当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明 当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2).∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线.(3)解 当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2).又＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2).又||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.10
