第7练基本初等函数问题题型一指数函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．破题切入点判断函数t＝|2x－m|的单调区间，结合函数y＝2t的单调性，得m的不等式，求解即可．答案(－∞，4]mm解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调22递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．2题型二对数函数的图象和性质1例2已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，则a的取值3范围是________．破题切入点要对字母a进行分类讨论．1答案(0，]∪[3，＋∞)3解析∵f(x)＝logax，1当0<a<1时，|f()|－|f(2)|31＝loga＋loga232＝loga>0，31当a>1时，|f()|－|f(2)|31＝－loga－loga232＝－loga>0，31∴|f()|>|f(2)|总成立．31要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，311只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1，331即logaa－1≤loga≤logaa，3-1-\n1亦当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；31当0<a<1时，得a－1≥≥a，31得0<a≤.31综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．3题型三幂函数的图象和性质例3已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当－1<x≤1时，f(x)＝1－x2.若直线y＝－x＋a与曲线y＝f(x)恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为________________________．破题切入点画出函数f(x)的草图，对参数a取特殊值，验证是否满足题设条件．5答案{a|a＝2k＋1或2k＋，k∈Z}4解析画出函数f(x)的草图，当a＝1时，如图所示，直线y＝－x＋1与曲线y＝f(x)恰有2个交点；55当a＝时，直线y＝－x＋与曲线y＝f(x)恰有2个交点，如图所示，根据函数的周期性．44总结提高(1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数，考查形式主要是客观题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现．考查重点主要有三个：一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，二是考查指数式与对数式的运算，三是考查交汇性问题．(2)解决好本部分问题需要注意以下三点：①理清定义：掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念，并注意指数函数与幂函数的区别．②心中有图：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能灵活运用函数图象和性质解题．③把握交汇：把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点，在综合应用中强化对这三种函数的理解．1．若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________．答案0<a<1且b<0解析(1)当0<a<1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a>1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a<1.-2-\n(2)如图，这个图可理解为y＝ax(0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度．b－1<0，∴解得b<0.|b－1|>1，由(1)、(2)可知0<a<1且b<0.2．(2022·课标全国Ⅱ改编)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小顺序为________．答案a>b>c11解析因为a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1log23log251＋log72＝1＋，显然a>b>c.log273．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________.2答案4解析∵0<a<1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为减函数，∴f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a＝1＋loga2，∴1＝3(1＋loga2)，22即loga2＝－，∴a＝.344．函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．答案(0，6]解析要使函数f(x)＝1－2log6x有意义，x>0，则解得0<x≤6.1－2log6x≥0.5．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz成立”的________条件．答案充分不必要解析由lgx，lgy，lgz成等差数列，可以得出2lgy＝lgx＋lgz，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz，但反之，若y2＝xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lgx，lgy，lgz成等差数列．6．已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.答案2解析∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.7．已知0<a<1，则函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________．答案2-3-\n解析分别画出函数y＝ax(0<a<1)与y＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，图象有两个交点．18．若函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________．答案[－1,0)解析由题意得，121－x＋m，x≤1函数y＝1.2x－1＋m，x>1121－x，x≤1首先作出函数y＝1的图象，如图所示．2x－1，x>1121－x＋m，x≤1由图象可知要使函数y＝1的图象与x轴有公共点，则m∈[－1,0)．2x－1＋m，x>119．已知函数f(x)＝5x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)与0的大小关系为________．答案f(x1)>01解析当x>0时，f(x)＝()x－log3x是减函数，5又x0是方程f(x)＝0的根，即f(x0)＝0.∴当0<x1<x0时，f(x1)>f(x0)＝0.10．(2022·南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝ln(ex＋ey)，x，y∈R.当x*x＝y时，*x＝y.对任意实数a，b，c，给出如下命题：①a*b＝b*a；②(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)；③(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)；④(a*b)*c＝a*(b*c)；*a＋b⑤a*b≥.2-4-\n其中正确的命题有________．(写出所有正确的命题序号)答案①②③④⑤解析因为a*b＝ln(ea＋eb)，b*a＝ln(eb＋ea)，所以a*b＝b*a，即①对；因为(a*b)＋c＝ln(ea＋eb)＋c＝ln[(ea＋eb)ec]＝ln(ea＋c＋eb＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②对；只需令②中的c为－c，即有结论(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③对；abln(ee)因为(a*b)*c＝[ln(ea＋eb)]*c＝ln[e＋ec]＝ln(ea＋eb＋ec)，bcln(ee)a*(b*c)＝a*[ln(eb＋ec)]＝ln[ea＋e]＝ln(ea＋eb＋ec)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④对；*设a*b＝x，则x*x＝a*b，所以ln(ex＋ex)＝ln(ea＋eb)，所以2×ex＝ea＋eb，ea＋eb*ea＋eb2ea·eba＋b所以x＝ln，即a*b＝ln≥ln＝，故⑤对．2222故正确的命题是①②③④⑤.11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以，函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，方程ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．所以，b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1)．12．(2022·盐城模拟)设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值．解(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，n－xf′(x)＝(n＋1)xn－1n＋1.-5-\nn令f′(x)＝0，解得x＝，n＋1n0，在n＋1上，f′(x)>0，故f(x)单调递增；n，＋∞而在n＋1上，f′(x)<0，故f(x)单调递减．故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为nnn1－nnfn＋1＝n＋1n·n＋1＝.n＋1n＋1-6-
