第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望] 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.常考题型精析题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2022·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么·的最小值为( )A.－4＋B.－3＋C.－4＋2D.－3＋2点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.变式训练1 (2022·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2022·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.π(2)(2022·石家庄模拟)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是( )A.B.14\nC.D.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( )A.B.C.D.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于( )A.2B.4C.2D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝.变式训练3 (2022·浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝__________，y0＝________，|b|＝________.高考题型精练1.(2022·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于( )A.－a2B.－a2C.a2D.a22.(2022·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则( )14\nA.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|23.(2022·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为( )A.6B.7C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设＝a，＝b，＝p，则p·(b－a)等于( )A.－B.C.－D.5.在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是( )A.(0，]B.(，]C.(，]D.(，]6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·等于( )A.2B.3C.4D.67.(2022·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y414\n均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.08.(2022·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________.10.(2022·湖南衡阳八中第六次月考)已知点O是锐角△ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝.若＝x＋y，则6x＋9y＝________.11.已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1).(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围. 14\n 12.(2022·黄冈模拟)在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.(1)求|－|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值. 14\n答案精析第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型常考题型精析例1 (1)2 (2)D解析 (1)如图，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝2×2×cos120°＋×2×2＋×2×2＋×2×2×cos120°＝－2＋＋－＝－，又∵·＝1，∴－＝1，∴λ＝2.(2)方法一 设||＝||＝x，∠APB＝θ，则tan＝，从而cosθ＝＝.·＝||·||·cosθ＝x2·＝＝＝x2＋1＋－3≥2－3，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时取等号，故·的最小值为2－3.方法二 设∠APB＝θ，0<θ<π，14\n则||＝||＝.·＝||||cosθ＝()2cosθ＝·(1－2sin2)＝.令x＝sin2，0<x≤1，则·＝＝2x＋－3≥2－3，当且仅当2x＝，即x＝时取等号.故·的最小值为2－3.方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，则·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝x－2x1x0＋x－y.由OA⊥PA⇒·＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0⇒x－x1x0＋y＝0，又x＋y＝1，所以x1x0＝1.从而·＝x－2x1x0＋x－y＝x－2＋x－(1－x)＝2x＋x－3≥2－3.14\n故·的最小值为2－3.变式训练1 9解析 因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.例2 (1)A (2)D解析 (1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.(2)设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|·cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.变式训练2 A解析 方法一 由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方，整理可得a·b＝0.①由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方，可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②将①代入②，得b2＝3a2，即|b|＝|a|.而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝＝＝＝.又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A.14\n方法二 如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，可得||＝||＝2||，所以平行四边形OACB是矩形，＝＝a.从而||＝2||.在Rt△BOC中，||＝＝||，故cos∠BOC＝＝，所以∠BOC＝.从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A.例3 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，所以|2a＋b|＝＝＝2.(2)方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值为5.14\n方法二 设＝x(0<x<1)，∴＝(1－x)，＝－＝－x，＝＋＝(1－x)＋，∴＋3＝＋(3－4x)，|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25，∴|＋3|的最小值为5.变式训练3 1 2 2解析 方法一 对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，说明当x＝x0，y＝y0时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值1.|b－(xe1＋ye2)|2＝|b|2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝2－，所以当x＝2－时，f(x)取得最小值，代入化简得f(x)＝(y－2)2－7，显然当y＝2时，f(x)min＝－7，此时x＝2－＝1，所以x0＝1，y0＝2.此时|b|2－7＝1，可得|b|＝2.方法二 ∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1,0,0)，b＝(m，n，t).由题意知解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝2＋2＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝2＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，2＋(y－2)2＋t214\n取到最小值.此时t2＝1，故|b|＝＝2.高考题型精练1.D[如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝||||cos30°＝a2×＝a2.]2.D[由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错.当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.]3.B[∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故＋＝2＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，∴＋＋＝(x－6，y).故|＋＋|＝，∴x＝－1时有最大值＝7，故选B.]4.A[以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为y－＝x－，即x－y－＝0.设P(x，x－)，则p＝(x，x－)，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－)＝－.]5.D[由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内部.又⊥，＝＋，所以点A在以B1B2为直径的圆上，14\n当P与O点重合时，||取得最大值，当P在半径为的圆周上时，||取得最小值，故选D.]6.C[在△ABC中，因为∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，所以AB＝4，且B＝A＝45°.因为＝3，所以＝.所以·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·＝16＋×4×4cos135°＝4.]7.B[设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S＝(xi·yi)，则S有以下三种情况：①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cosθ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知②最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，∴cosθ＝，可求θ＝，故选B.]8.22解析 由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.9.解析 由e1·e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1).14\n故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.10.5解析 如图，设点O在AB，AC上的射影是点D，E，它们分别为AB，AC的中点，连接OD，OE.由数量积的几何意义，可得·＝||·||＝32，·＝||·||＝72，依题意有·＝x2＋y·＝64x＋48y＝32，即4x＋3y＝2，·＝x·＋y2＝48x＋144y＝72，即2x＋6y＝3，将两式相加可得6x＋9y＝5.11.解 (1)因为a∥b，所以cosx＋sinx＝0.所以tanx＝－.故cos2x－sin2x＝＝＝.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2(sinx＋cosx，－)·(cosx，－1)＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋.由正弦定理，得＝，所以sinA＝＝＝.所以A＝或A＝.因为b>a，所以A＝.所以f(x)＋4cos(2A＋)＝sin(2x＋)－.因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，].所以－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤－.14\n所以f(x)＋4cos(2A＋)的取值范围为[－1，－].12.解 (1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|－|＝||＝14.(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.由余弦定理，得cosA＝＝.由x＝＋t，y＝t＋，知k＝x·y＝(＋t)·(t＋)＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t＝80t2＋356t＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，k取得最小值516.14
