课时规范练25 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )A.-1B.0C.1D.23.(2022河南新乡二模)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数m等于( )A.-4B.4C.-2D.24.(2022河南濮阳一模,文3)若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB·(λBA+CA)=0,则实数λ的值为( )A.3B.-92C.-3D.-535.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( )A.5B.25C.5D.106.(2022河北唐山期末)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cosθ=( )A.-35B.35C.55D.-2557.(2022河北邯郸二模,文4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2a-b|a·(a+b)等于( )A.-53B.1C.2D.548.(2022北京,文7)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6\n9.若向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= . 10.(2022广东、江西、福建十校联考,文13)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(2,2),则向量AB在CD方向上的投影为 . 11.(2022江西重点中学盟校二模,文17)在△ABC中,已知AB·AC=3BA·BC.(1)求证:tanB=3tanA;(2)若cosC=55,求角A的度数.〚导学号24190750〛综合提升组12.(2022安徽蚌埠一模,文6)已知非零向量m,n满足3|m|=2|n|,其夹角为60°,若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )A.3B.-3C.2D.-2〚导学号24190751〛13.(2022河北邯郸一模,文3)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,(a-b)·a=1,则a与b的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π214.(2022河北武邑中学一模,文11)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=2,则CM·CN的取值范围为( )A.2,52B.[2,4]C.[3,6]D.[4,6]15.(2022江苏南京一模,9)已知△ABC是直角边长为4的等腰直角三角形,D是斜边BC的中点,AM=14AB+mAC,向量AM的终点M在△ACD的内部(不含边界),则AM·BM的取值范围是 . 16.(2022江苏,12)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α,且tanα=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=.创新应用组17.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是( )A.-2B.-32C.-43D.-16\n18.(2022辽宁沈阳二模)已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则|OC|的取值范围是( )A.[5,25]B.[5,210)C.(5,10)D.[5,210]答案：1.B A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B 由已知,得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.3.C 设a,b的夹角为θ,∵|a||b|+a·b=0,∴|a||b|+|a||b|cosθ=0,∴cosθ=-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),∴b=-2a,∴m=-2.4.C ∵BA=(1,2),CA=(4,5),∴CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),λBA+CA=(λ+4,2λ+5).又CB·(λBA+CA)=0,∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.C 依题意,得AC·BD=1×(-4)+2×2=0,∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积为12|AC||BD|=12×12+22×(-4)2+22=5.6.A ∵向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),∴b=a+2b-a2=(2,1),∴cosθ=a·b|a||b|=-4+15×5=-35.6\n7.B ∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,∴a·b=2m-2=0,解得m=1,∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,∴|2a-b|a·(a+b)=55=1.8.A m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.9.-23 ∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-23.10.115 由A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(2,2),得AB=(2,1),CD=(4,3),故向量AB在CD方向上的投影为AB·CD|CD|=2×4+1×342+32=115.11.解(1)∵AB·AC=3BA·BC,∴cbcosA=3cacosB,即bcosA=3acosB,由正弦定理,得sinBcosA=3sinAcosB.又0<A+B<π,∴cosA>0,cosB>0,在等式两边同时除以cosAcosB,可得tanB=3tanA.(2)∵cosC=55,0<C<π,∴sinC=255,∴tanC=2,∴tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,∴tanA+tanB1-tanAtanB=-2,将tanB=3tanA代入,得tanA+3tanA1-3tan2A=-2,整理得3tan2A-2tanA-1=0,即(tanA-1)(3tanA+1)=0,解得tanA=1或tanA=-13.又cosA>0,∴tanA=1.又角A为△ABC的内角,∴A=π4.6\n12.B ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=tm·n+n2=t|m||n|·12+|n|2=t·13|n|2+|n|2=0,解得t=-3.故选B.13.C 设a,b的夹角为θ,∵向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(a-b)·a=1,∴a2-b·a=1,∴22-3×2×cosθ=1,解得cosθ=12,∴a与b的夹角为π3.故选C.14.D 以C为坐标原点,CA为x轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),∴AB所在直线的方程为y=3-x.设M(a,3-a),N(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设a>b,∵MN=2,∴(a-b)2+(b-a)2=2,∴a-b=1,∴a=b+1,∴0≤b≤2,∴CM·CN=(a,3-a)·(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3),0≤b≤2,∴当b=1时有最小值4;当b=0或b=2时有最大值6,∴CM·CN的取值范围为[4,6].15.(-2,6) 以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2),所以AM=14AB+mAC=14(4,0)+m(0,4)=(1,4m),则M(1,4m).∵点M在△ACD的内部(不含边界),∴1<4m<3,14<m<34,则AM·BM=(1,4m)·(-3,4m)=16m2-3,∴-2<16m2-3<6,故答案为(-2,6).16.3 |OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.6\n17.B 以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32.当点P的坐标为0,32时,PA·(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.18.B ∵OA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB=(3m+n,m-3n),∴|OC|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2),令t=m2+n2,则|OC|=10t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,在平面直角坐标系中表示如图所示,t=m2+n2表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得22≤t<2.又由|OC|=10t,故5≤|OC|<210.6
