课时提升练(二十五) 平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )A．－2 B．2 C．0 D．2或－2【解析】 n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(－1,1)·(－1，－1)＋2＝2.【答案】 B2．(2022·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )A．－2B．－1C．1D．2【解析】 因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2.【答案】 D3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且向量a，b不共线，则下列说法不正确的是( )A．|a|＝|b|＝1B．(a＋b)⊥(a－b)C．a与b的夹角等于α－βD．a与b在a＋b方向上的投影相等【解析】 ∵α、β是任意角，可取α＝，β＝－π，则α－β＝，因为向量夹角的范围是[0，π]，故C不正确；可以验证．A、B、D均正确．【答案】 C4．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝( )A.B.C．－D．－【解析】 由题意，|3a|＝3，|4b|＝4，|5c|＝5，又∵3a＋4b＋5c＝0，故向量3a,4b,5c首尾相接构成直角三角形(如图)，4\n故a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝|a||c|cos〈a，c〉＝cos〈a，c〉＝－.【答案】 D5．(2022·课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．5【解析】 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.【答案】 A6．(2022·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )A.－1B.C.＋1D.＋2【解析】 ∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b＝0，∴a⊥b，∴|a＋b|＝.∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1.∴c2－2c·(a＋b)＋1＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∴c2＋1＝2|c||a＋b|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．∴c2＋1＝2|c|cosθ≤2|c|.∴c2－2|c|＋1≤0.∴－1≤|c|≤＋1.∴|c|的最大值为＋1.【答案】 C二、填空题7．(2022·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.【解析】 由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.【答案】 ±38．(2022·山东高考)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．【解析】 已知A＝，由题意得||||cos＝tan，||||＝，所以△ABC4\n的面积S＝||·||sin＝××＝.【答案】 9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．【解析】 ∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－，当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴，∴λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线．综上可知，λ的取值范围为.【答案】 三、解答题10．已知向量a＝，b＝且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．【解】 (1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x.∵a＋b＝，∴|a＋b|＝＝＝2|cosx|.∵x∈，∴cosx＞0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝22－.4\n∵x∈，∴≤cosx≤1，∴当cosx＝时，f(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.11．(2022·陕西高考)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求||；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．【解】 (1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，∴||＝＝2.(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.12．(2022·湖南高考改编)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，求|＋＋|的取值范围．【解】 设D(x，y)，则由||＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.又∵＋＋＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝.∴|＋＋|的几何意义是点P(1，－)与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离．由|PC|＝知，|＋＋|的最大值是1＋，最小值是－1.4
