专题能力训练12 空间中的平行与垂直(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.给出下列四个命题:①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;②如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是( ) A.①②B.②③C.③④D.②④2.(2022浙江吴越联盟第二次联考)已知直线a,b以及平面α,β,则下列命题正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥α,则a⊥bC.若a∥b,b∥α,则a∥αD.若a⊥α,b∥β,则α⊥β3.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在该四面体中,下列说法正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ACD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BCDD.平面ACD⊥平面ABC4.将正方形ABCD沿对角线AC折成120°的二面角,则折后的直线BD与平面ABC所成角的正弦值为( )ABCD5.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )ABCD6.在四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,以下判断错误的是( )A.该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直B.该四面体的外接球球心和内切球球心重合C.该四面体的各面是全等的锐角三角形D.该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为17\n7.如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C处于过程中,直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是( )ABCD8.(2022浙江绍兴一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB的中点为P,若光线从点P出发,依次经三个侧面BCC1B1,DCC1D1,ADD1A1反射后,落到侧面ABB1A1(不包括边界)上,则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是( )ABCD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是 . ①若l∥α,l∥β,则α∥β;②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;③若α⊥β,l⊥α,则l∥β;④若α⊥β,l∥α,则l⊥β.10.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是 (填上所有正确命题的序号). 11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 7\n12.(2022浙江“超级全能生”3月联考)在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为 . ABCD13.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,底面是边长为1的正方形,E,F,G分别是棱BB1,AA1,AD的中点,则平面A1DE与平面BGF的位置关系是 (填“平行”或“相交”). 14.如图,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a=;②a=1;③a=;④a=4,当BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,可以取 (填正确的序号). 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面CDE⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2.(1)证明AB⊥平面BCE;(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.7\n16.(本小题满分15分)如图,AB=BE=BC=2AD=2,且AB⊥BE,∠DAB=60°,AD∥BC,BE⊥AD,(1)求证:平面ADE⊥平面BDE;(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.参考答案专题能力训练12 空间中的平行与垂直1.D 解析分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故A错误;根据面面垂直的判定定理,可知当一个平面经过另一个平面的垂线时,这两个平面一定相互垂直,故B正确;垂直于同一直线的两条直线可能平行也可能相交还可能异面,故C错误;由面面垂直的性质定理,可知当两个平面垂直时,一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故D正确.故选D.2.B 解析对于A,若a∥α,b∥α,则a∥b或a,b相交、异面,不正确;对于B,若a∥α,则经过a的平面与α交于c,a∥c,∵b⊥α,∴b⊥c,∵a∥c,∴a⊥b,正确;对于C,若a∥b,b∥α,则a∥α或a⊂α,不正确;对于D,若a⊥α,b∥β,则α,β的位置关系不确定,不正确.故选B.3.D 解析因为AD=AB,∠BAD=90°,则∠DBC=45°⇒DB⊥DC,又平面ABD⊥平面BCD,所以DC⊥平面ABD⇒CD⊥AB,结合AB⊥AD,AD∩CD=D可得AB⊥平面ACD,故平面ACD⊥平面ABC,应选D.4.A 解析设AC的中点为E,由正方形的性质可知,BE⊥AC,DE⊥AC,折起后仍有BE⊥AC,DE⊥AC成立,所以∠DEB是二面角的平面角,即∠DEB=120°,可得∠DBE=30°,在平面7\nDEB内作DO⊥BE于点O,根据AC⊥平面DEB可得DO⊥AC,从而可得DO⊥平面ABC,∠DBE是直线DB与平面ABC所成的角,因为∠DBE=30°,所以直线DB与平面ABC所成的角的正弦值为.故选A.5.A 解析∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为.6.D 解析如图,把该四面体ABCD补成一个长方体,四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线,由长方体的性质知A,B,C都正确,只有D错误.故选D.7.D 解析如图所示,取BD中点E,连接AE,CE,则∠AEC即为二面角A-BD-C的平面角,∵AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos∠AEC=4-2cos∠AEC,∠AEC∈,∴AC∈[1,],∴=2cos<>=·()=-2+AB·BC·=1-,设异面直线AB,CD所成的角为θ,∴0≤cosθ≤.故选D.8.C 解析根据线面角的定义,当入射光线在面BCC1B1的入射点离点B距离越近,入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值越大,如图所示,此时tan∠PHB=,结合选项,可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是.故选C.9.② 解析①中,α∥β或α与β相交,不正确.②中,过直线l作平面γ,设α∩γ=l',则l'∥l,由l⊥β,知l'⊥β,从而α⊥β,②正确.③中,l∥β或l⊂β,C不正确.④中,l与β的位置关系不确定.故填②.10.②④ 解析①错误,PA⊂平面MOB;②正确;③错误,若OC⊥平面PAC,有OC⊥AC,这与BC⊥AC矛盾;④正确,因为BC⊥平面PAC.7\n11.DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.12. 解析初始状态直线AD与直线BC成的角为0°,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC成的角为直角,因此直线AD与直线BC所成的角的范围为.13.平行 解析在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BB1,AA1,AD的中点,所以FG∥A1D.所以FG∥平面A1DE.同理FB∥平面A1DE,又FG∩FB=F,所以平面BGF∥平面A1DE.14.①② 解析如图,连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ.又PQ⊥QD,所以AQ⊥QD.故Rt△ABQ∽Rt△QCD.令BQ=x,则有,整理得x2-2x+a2=0.由题意可知方程x2-2x+a2=0有正实根,所以0<a≤1.15.(1)证明∵∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABCD是直角梯形.∵AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2,∴CD=,∴CE2+DC2=DE2,∴EC⊥CD,∵平面EDC⊥平面ABCD,平面EDC∩平面ABCD=DC,∴CE⊥平面ABCD,∴CE⊥AB,又AB⊥BC,BC∩CE=C,∴AB⊥平面BCE.(2)解过点A作AH⊥DC,交DC于点H,则AH⊥平面DCE,连接EH,则∠AEH是直线AE与平面DCE所成角的平面角,∵×DC×AH=×AB-×AB×BC,∴AH=,AE=,∴sin∠AEH=,∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为.7\n16.解(1)∵AB=2AD,∠DAB=60°,∴AD⊥DB,又BE⊥AD,且BD∩BE=B,∴AD⊥平面BDE,又AD⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面BDE.(2)∵BE⊥AD,AB⊥BE,∴BE⊥平面ABCD,∴点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2.设AD与平面DCE所成角为θ,点A到平面DCE的距离为d,由VA-DCE=VE-ADC,得×d×S△CDE=×|BE|×S△ACD,解得d=,而AD=1,则sinθ=.故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为.7
