[第3讲 不等式与线性规划](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．下列命题中，正确的是( )A．若a＞b，c＞d，则ac＞bcB．若ac＞bc，则a＞bC．若＜，则a＜bD．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d2．不等式≤0的解集为( )A．B．C．∪[1，＋∞)D．∪[1，＋∞)3．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，则集合N∩(∁RA)中元素的个数为( )A．无数个B．3C．4D．54．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A．80元B．120元C．160元D．240元5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为________.提升训练6．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥ab”是“＋≥2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知实数x，y满足时，z＝＋(a≥b＞0)的最大值为1，则a＋b的最小值为( )A．7B．8C．9D．108．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＜0的解集为( )A．{x|x＜－2或x＞1}B．C．D．-5-\n9．设变量x，y满足则z＝|x－3y|的最大值为( )A．3B．8C．D．10．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)，且f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为( )A．4B．8C．8D．1211．某旅行社用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元∕辆和2400元∕辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车至多比A型车多7辆，则租金最少为( )A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元12．在R上定义运算⊗：x⊗y＝.若关于x的不等式x⊗(x＋1－a)＞0的解集是{x|－2≤x≤2，x∈R}的子集，则实数a的取值范围是( )A．－2≤a≤2B．－1≤a≤2C．－3≤a＜－1或－1＜a≤1D．－3≤a≤113．已知点P(x，y)满足约束条件O为坐标原点，则x2＋y2的最小值为________.14．已知函数f(x)＝x＋(x＞1)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则a＋b＝________.15．已知直线2mx－(m＋1)y＋4＝0上存在点(x，y)满足则实数m的取值范围为________.-5-\n专题限时集训(三)【基础演练】1．C [解析]C中c2>0，故a<b成立．2．B [解析]原不等式等价于解得－＜x≤1.3．C [解析]集合A＝，所以∁RA＝，所以N∩∁RA＝，有4个元素．4．C [解析]设长方体容器的底面长、宽分别为am，bm，则有a×b×1＝4，得ab＝4，该容器的总造价y＝20ab＋(2a＋2b)×1×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160.当且仅a＝b＝2时等号成立，故该容器的最低总造价是160元．5．－4 [解析]作出不等式组对应的可行域如图所示，由z＝3x－2y得y＝x－，由图像可知当直线y＝x－经过点C(0，2)时，直线y＝x－的截距最大，而此时z＝3x－2y取得最小值，且zmin＝－4.【提升训练】6．B [解析]当a，b异号时，有a2＋b2≥2ab，但＋≥2不成立；反之，若＋≥2，说明a，b同号，一定有a2＋b2≥2ab.所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．7．D [解析]由不等式组画出可行域如图所示，当目标函数z＝＋经过A点时取得最大值，所以＋＝1.由＋＝1，得b＝，因为a≥b＞0，所以解得a≥5.由a＋b＝a＋＝a－1＋＋5，设f(a)＝a－1＋，则f′(a)＝1－，令f′(a)＞0，得f(a)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，因为a≥5，所以f(a)在[5，＋∞)上单调递增，所以f(a)min＝f(5)＝5，所以(a＋b)min＝10.-5-\n8．A [解析]当x>0时，由logx<0，解得x>1；当x≤0时，由－x2－2x<0，解得x<－2.所以不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－2或x＞1}．9．B [解析]作出不等式组所表示的平面区域如图所示．设x－3y＝c，显然当直线x－3y＝c经过点A(－2，2)，B(－2，－2)时，c分别取得最小值－8和最大值4，故－8≤c≤4，所以z＝|x－3y|的最大值为8.10．C [解析]f(x)＝x3－(a＋b)x2＋abx，f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，所以f′(0)＝ab＝4，所以a2＋2b2≥2ab＝8，当且仅当a＝2，b＝2时等号成立．11．C [解析]设租用A，B型号的车辆分别为x辆y辆，则x，y满足不等式组租金z＝1600x＋2400y.不等式组所表示的平面区域如图所示，将顶点坐标(7，14)，(5，12)，(15，6)，顺次代入z＝1600x＋2400y，得z＝44800，36800，38400，可知当x＝5，y＝12时，zmin＝36800.此时x，y均为正整数，故点(5，12)为最优解，即租用A，B型号的车辆分别为5辆，12辆时，租金最少，为36800元．12．D [解析]x⊗(x＋1－a)＞0⇒＞0⇒＞0⇒＜0，设A为关于x的不等式x⊗(x＋1－a)＞0的解集，当a＋1＝0，即a＝－1时，A为∅-5-\n，符合题意；当a＋1＞0，即a＞－1时，A＝(0，a＋1)⊆[－2，2]，则a＋1≤2，即a≤1，所以－1＜a≤1；当a＋1＜0，即a＜－1时，A＝(a＋1，0)⊆[－2，2]，则a＋1≥－2，即a≥－3，所以－3≤a＜－1.综上可知，－3≤a≤1.13． [解析]x2＋y2的几何意义为可行域内的点到原点O的距离的平方，作出可行域如图所示，易知在可行域内到原点O的距离最小的点在线段AB上，即求点O到线段AB的距离的平方，由d＝＝，得(x2＋y2)min＝d2＝.14．8 [解析]∵f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，x－1>0，∴f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝5＝b，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立，∴a＝3.∴a＋b＝8.15．m≤－ [解析]由2mx－(m＋1)y＋4＝0得(2x－y)m－y＋4＝0，令得所以直线恒过点(2，4)，当m＋1＝0，即m＝－1时，x＝2符合题意；当m≠－1时，二元一次不等式组表示的区域如图所示，由图可知若存在(x，y)满足题意，需满足≤或≥，解得m≤－.-5-
