[第20讲 分类与整合思想、化归与转化思想](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知集合A＝，B＝，A∪B＝A，则m＝( )A．0或3B．0或C．1或D．1或32．已知命题p：∃x0∈R，sinx0>A．若綈p是真命题，则实数a的取值范围为( )A．a<1B．a≤1C．a＝1D．a≥13．已知m是2，8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为( )A．或B．C．D．或4．已知M＝{(x，y)|y＝x＋a}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，且M∩N＝∅，则实数a的取值范围是( )A．a＞2B．a＜－2C．a＞2或a＜－2D．－2＜a＜25．函数f(x)＝的值域为________.提升训练6．若函数f(x)＝sinωx＋cosωx，x∈R，又f(x1)＝－2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，则正数ω的值为( )A．B．C．D．7．若sin＝，则cos＝( )A．－B．－C．D．8．若直线y＝x＋b被圆x2＋y2＝1所截得的弦长不小于1，则b的取值范围是( )A．B．C．D．9．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且a≤b≤c(a，b，c∈N*)，当b＝n(n∈N*)时，记满足条件的所有三角形的个数为an，则数列{an}的通项公式an＝( )A．2n－1B．C．2n＋1D．n10．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线的方程是________.11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a-5-\n＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数a的取值范围是________.12．关于x的不等式ax2－|x＋1|＋3a≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________.13．设函数f(x)＝2sinxcos2＋cosxsinφ－sinx(0＜φ＜π)在x＝π处取得最小值.(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(B)＝－，求的值.14．如图201所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E为CD的中点.(1)求证：B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.图20115．已知函数f(x)＝x3－2ax2－3x.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)已知对一切x∈(0，＋∞)，af′(x)＋4a2x≥lnx－3a－1恒成立，求实数a的取值范围.专题限时集训(二十)-5-\n【基础演练】1．A [解析]由A∪B＝A得B⊆A，则m＝3或m＝，即m＝3或m＝0，m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.2．D [解析]綈p为“∀x∈R，sinx≤a”，綈p为真，则a≥＝1.3．D [解析]根据题意知m2＝16，得m＝±4.当m＝4时，圆锥曲线x2＋＝1是椭圆，其离心率为；当m＝－4时，圆锥曲线x2－＝1是双曲线，其离心率为.4．C [解析]M∩N＝∅等价于方程组无解．把y＝x＋a代入到方程x2＋y2＝2中，消去y，得关于x的一元二次方程2x2＋2ax＋a2－2＝0，①由题易知一元二次方程①无实根，即Δ＝(2a)2－4×2×(a2－2)＜0，由此解得a＞2或a＜－2.5．(－∞，2) [解析]当x≥1时，logx≤log1＝0；当x<1时，0<2x<2.故函数f(x)的值域为(－∞，2)．【提升训练】6．B [解析]因为f(x)＝2sin，且f(x1)＝－2，f(x2)＝0，所以|x1－x2|的最小值为＝，故T＝3π，所以ω＝.7．A [解析]∵sin＝，∴cos＝，∴cos＝2cos2－1＝－.8．D [解析]由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于，即≤，解得－≤b≤.9．B [解析]记满足条件的三角形为(a，b，c)．当n＝1，三角形为(1，1，1)，有1个；当n＝2时，三角形为(1，2，2)，(2，2，2)，(2，2，3)，有3个；当n＝3时，三角形为(1，3，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，3，5)，有6个.结合选项判断，通项公式为an＝.10．y＝－x或－＝1 [解析]设直线为－＝1或y＝kx后，由直线过点(2，－3)得a＝5和k＝－.11．(－∞，－5] [解析]当x≥0时，f(x)＝x2，此时函数f(x)单调递增，∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数f(x)在R上单调递增．若对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则x＋a≥3x＋1恒成立，即a≥2x＋1恒成立．∵x∈[a，a＋2]，∴(2x＋1)max＝2(a＋2)＋1＝2a＋5，即a≥2a＋5，解得a≤－5，∴实数a的取值范围是(－∞，－5]．12． [解析]分离参数得a≥，设g(x)＝.-5-\n当x＝－1时，g(x)＝0；当x>－1时，g(x)＝＝＝≤＝，当且仅当x＝1时等号成立；当x<－1时，g(x)＝＝≤，当且仅当x＝－3时等号成立．综上可知g(x)max＝，所以a≥.13．解：(1)∵f(x)＝2sinxcos2＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)，∴sin(π＋φ)＝－sinφ＝－1.又∵0＜φ＜π，∴φ＝.(2)∵f(B)＝－，∴sin＝cosB＝－，∵0＜B＜π，∴B＝.∵＝，∴sinA＝，又∵A∈，∴A＝，∴C＝π－A－B＝.∴＝＝＝＝.14．解：(1)证明：连接A1D，B1D.因为AA1＝AD，所以A1D⊥AD1.又B1A1⊥平面A1D1DA，所以B1A1⊥AD1.因为A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1D.又因为A1B1∥BE，所以B1E⊂平面A1B1D，所以B1E⊥AD1.(2)取棱AA1的中点P，则DP∥平面B1AE，其中AP的长为1.证明如下：取AB1的中点F，连接PF，EF，则PF为△AA1B1的中位线，所以PF∥A1B1，且PF＝A1B1，又ED∥A1B1且ED＝A1B1.所以PF∥ED且PF＝ED，所以四边形DEFP为平行四边形，所以DP∥EF.又DP⊄平面AEB1，EF⊂平面AEB1，所以DP∥平面B1AE.15．解：(1)由题意知当a＝0时，f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝2x2－3，又f(3)＝9，f′(3)＝15，所以曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为15x－y－36＝0.-5-\n(2)f′(x)＝2x2－4ax－3，则由题意得2ax2＋1≥lnx，即a≥在x∈(0，＋∞)时恒成立．设g(x)＝，则g′(x)＝，当0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0，所以当x＝e时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝，故实数a的取值范围为.-5-
