【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第十二章几何证明选讲理（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选填空题1.(2022·湖南十三校联考)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF＝2BF，若CE与圆相切，且CE＝，则BE＝________．解析 由AF·BF＝DF·CF得BF＝1，又CE2＝BE·AE，得BE＝.答案 2.(2022·湖南长沙模拟)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA＝，PB＝1，则∠PAB＝________．解析 连接AO，PA是圆O切线，A为切点，∴∠PAO＝90°，∴AP2＋AO2＝PO2，即3＋r2＝(1＋r)2⇒r＝1.由AP＝，PO＝2，AO＝1及∠PAO＝90°可得∠POA＝60°，∴AB＝1，cos∠PAB＝＝，∴∠PAB＝30°.答案 30°3．(2022·湖南六校联考)点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．解析 由切割线定理，得CD2＝BD·AD.因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，即BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.因为∠A＝∠BCD，∠D＝∠D，6\n所以△ADC∽△CDB，于是＝，所以AC＝·BC＝×3＝.答案 4．(2022·北京海淀二模)已知⊙O的弦AB交半径OC于点D.若AD＝3，BD＝2，且D为OC的中点，则CD＝______.解析 延长CO交圆O于点M，由题意知DC＝，DM＝r.由相交弦定理知AD·DB＝DC·DM，即r2＝6，∴r＝2，∴DC＝.答案 5．(2022·北京西城二模题)△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D.若PA＝PE，∠ABC＝60°，PD＝1，PB＝9，则PA＝________；EC＝________.解析 由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，∴PA＝3.由弦切角定理知∠PAE＝∠ABC＝60°，又∵PA＝PE，∴△PAE是边长为3的正三角形．∴AE＝PA＝3.又∵DE＝PE－PD＝2，BE＝BP－PE＝6.由相交弦定理知AE·EC＝DE·EB，即3EC＝2×6，∴EC＝4.答案 3 4 第5题图 第6题图6．(2022·茂名模拟)如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.解析 ∵AB∥CD∥EF，6\n∴＝，＝，∴＝，＝，∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝4＝，∴EF＝3.答案 3一年创新演练7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析 连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案 125° 第7题图 第8题图8．如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.解析 如图，∵PC为圆O切线，C为切点PAB为割线且PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA·PB，∴PA＝2，∴OA＝(PB－PA)＝3，∴PO＝OA＋AP＝3＋2＝5，连接OC，则OC⊥PC，在Rt△OCP中，OC＝3，PC＝4，PO＝5，且CE⊥OP.∴OP·CE＝OC·PC，∴CE＝＝.答案 B组 专项提升测试6\n三年模拟精选一、填空题9．(2022·湖北孝感模拟)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC＝4，则AD＝________.解析 由题意可知BD与BC相等，BD＝BC＝4，OB＝＝2，∴sin∠B＝，cos∠B＝，∴sin∠B＝2sin∠B·cos∠B＝，∵AC⊥BC，∴sin∠A＝cos∠B＝，又∵AB＝＝，∴AD＝AB－BD＝－4＝.答案 10．(2022·北京朝阳二模)AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD＝2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F.若CD＝，则AB＝________，EF＝________.解析 ∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·BD.∵AD＝2BD，CD＝，∴()2＝2BD·BD，解得BD＝1，∴AD＝2BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝2＋1＝3.在Rt△CDE中，∵E为AD的中点，∴DE＝AD＝1，CD＝，∴CE＝＝，又由相交弦定理得AE·BE＝CE·EF，即1×2＝×EF，∴EF＝.答案 3 二、解答题11．(2022·东北三校4月模拟)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.6\n(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．(1)证明 如图，连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)解 OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，即＝，∴BN＝6，∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.一年创新演练12.如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.(1)证明：AD·AE＝AC2；(2)证明：FG∥AC.证明 (1)∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，∴AB2＝AD·AE，又∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE.(2)由(1)得＝，∵∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE,∴∠ADC＝∠ACE，∵∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE，∴FG∥AC.13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N.(1)求证：B、E、F、N四点共圆；(2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2.6\n证明 (1)连接BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB，则∠BEF＝∠BNF＝90°，即∠BEF＋∠BNF＝180°，则B、E、F、N四点共圆．(2)由直角三角形的射影定理可知AC2＝AE·AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：＝，BF·BM＝BA·BE＝BA·(BA－EA)，BF·BM＝AB2－AB·AE，则BF·BM＝AB2－AC2，即AC2＋BF·BM＝AB2.6
