【大高考】（五年高考真题）2022届高考数学复习第十四章不等式选讲理（全国通用）考点一 解绝对值不等式1．(2022·重庆，16)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.解析 由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝－1或x＝a时取得，若f(－1)＝2|－1－a|＝5，a＝或a＝－，经检验均不合适；若f(a)＝5，则|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.答案 4或－62．(2022·广东，9)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．解析 原不等式等价于或或解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．答案 {x|x≤－3或x≥2}3．(2022·湖南，13)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.解析 依题意，知a≠0.|ax－2|<3⇔－3<ax－2<3⇔－1<ax<5，当a>0时，不等式的解集为，从而有此方程组无解．当a<0时，不等式的解集为，从而有解得a＝－3.答案 －38\n4．(2022·重庆，16)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析 令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，易求得f(x)min＝，依题意得a2＋a＋2≤⇔－1≤a≤.答案 5．(2022·山东，14)在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．解析 当x≤－1时，原不等式变为－(x＋1)＋(x－2)≥1，即－3≥1，不成立；当－1<x<2时，原不等式变为x＋1－(2－x)≥1，即x≥1，∴1≤x<2；当x≥2时，原不等式变为(x＋1)－(x－2)≥1，即3≥1，∴x≥2.综上所述，不等式的解集是[1，＋∞)．对于区间[－3，3]，只有在区间[1，3]取值时不等式才能成立，故在区间[－3，3]随机取值，使不等式成立的概率是P＝＝.答案 6．(2022·江西，15(2))在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．解析 由||x－2|－1|≤1得：－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，所以－2≤x－2≤2，即0≤x≤4，故不等式的解集是{x|0≤x≤4}．答案 {x|0≤x≤4}7．(2022·重庆，16)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．解析 法一 设f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝可求得f(x)的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．法二 由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．8\n答案 (－∞，8]8．(2022·陕西，15A)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析 由|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案 [－2，4]9．(2022·广东，9)不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．解析 由题意知，－2和0将R分成三部分．(1)当x≤－2时，原不等式可化简为－(x＋2)－(－x)≤1，即－2≤1，∴x≤－2.(2)当－2<x<0时，化简为(x＋2)＋x≤1，即2x≤－1，∴x≤－，∴－2<x≤－.(3)当x≥0时，化简为x＋2－x≤1，即2≤1，此时无解．综上可得不等式的解集为.答案 10．(2022·陕西，15A)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析 法一 |x＋1|＋|x－2|表示数轴上一点A(x)到B(－1)与C(2)的距离之和，而|BC|＝3.∴|AB|＋|AC|≥3，∴|a|≥3，∴a≤－3或a≥3.法二 设f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)的图象如图所示，∴f(x)≥3，∴|a|≥3，∴a≤－3或a≥3.法三 ∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|a|≥3.∴a≤－3或a≥3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)11．(2022·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．8\n(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解 (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得a＝－3，b＝1.(2)＋＝＋≤＝2＝4，当且仅当＝，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.12．(2022·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．13．(2022·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．8\n(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．(1)证明 由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解 f(3)＝|3＋|＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)<5得＜a≤3.综上，a的取值范围是.14．(2022·辽宁，24)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.考点二 不等式的证明8\n1．(2022·湖北，6)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于( )A.B.C.D.解析 法一 由已知得①＋②－③：(2a－x)2＋(2b－y)2＋(2c－z)2＝0，∴x＝2a，y＝2b，z＝2c，∴＝.故选C.法二 由题设及柯西不等式得|ax＋by＋cz|≤＝20，当且仅当＝＝时取等号，此时令＝＝＝k，易知k＝，∴＝k＝，故选C.答案 C2．(2022·湖南，10)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．解析 由柯西不等式得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，即最小值为12.答案 123．(2022·湖北，13)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.解析 由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2当且仅当＝＝时等号成立，此时y＝2x，z＝3x.∵x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，∴x＝，y＝，z＝.8\n∴x＋y＋z＝＝.答案 4．(2022·陕西，15A)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．解析 (am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时等号成立)．答案 25．(2022·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．6．(2022·天津，19)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.(1)解 当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}．可得，A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．8\n(2)证明 由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)·qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1<0.所以，s<t.8
