【大高考】（五年高考）2022届高考数学复习第十二章几何证明选讲文（全国通用）考点一 相似三角形的判定及性质1．(2022·天津，7)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A．①②B．③④C．①②③D．①②④解析 由弦切角定理可得∠DBF＝∠DAB，又∠CBD＝∠CAD＝∠DAB，所以∠DBF＝∠CBD，即BD是∠CBF的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得＝，所以③错误；因为△ABF∽△BDF，所以＝，即AF·BD＝AB·BF，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.答案 D2．(2022·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______．解析 由圆内接四边形对角互补的特征可得到∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴＝＝＝，∴EF＝3.答案 33．(2022·广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．解析 由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是＝＝＝3.答案 34．(2022·陕西，15B)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC6\n的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．解析 ∵PE∥BC，∠C＝∠A，∴∠PED＝∠C＝∠A.∴△PDE∽△PEA.∴＝，即PE2＝PD·PA.又PD＝2，DA＝1，∴PA＝3.∴PE2＝2×3＝6，故PE＝.答案 5．(2022·陕西，15B)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________．解析 由相交弦定理得AE·EB＝DE2，∴DE＝.又△DEB∽△DFE，∴DE2＝DF·DB＝5.答案 56．(2022·广东，15)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上一点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析 如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h2，S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.答案 7∶57．(2022·新课标全国Ⅰ，22)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.6\n(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．解 (1)连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.可得x＝，所以∠ACB＝60°.8．(2022·江苏，21(A))如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.考点二 直线与圆的位置关系1．(2022·天津，6)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )A.B．3C.D.解析 由圆的相交弦定理得CM·MD＝AM·MB＝AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝，选A.答案 A2．(2022·广东，15)如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝2，则AD＝________．6\n解析 连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴＝，由切割线定理得CE2＝BE·AE，∴BE(BE＋4)＝12.即BE2＋4BE－12＝0，解得BE＝2(舍负)，∴AD＝＝＝3.答案 33．(2022·新课标全国Ⅱ，22)如图，O是等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明EF∥BC；(2)若AG等于⊙O半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．解 (1)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.4．(2022·陕西，22)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．(1)证明 因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，6\n所以∠CBD＝∠DBA.(2)解 由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.5．(2022·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明 (1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．6．(2022·新课标全国Ⅱ，22)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明 (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.6\n因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.7．(2022·辽宁，22)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明 (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.6
