【大高考】（五年高考真题）2022届高考数学复习第十二章几何证明选讲理（全国通用）考点一 相似三角形的判定与性质1．(2022·广东，15)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________．解析 如图所示，连接OC，因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC.又O为AB线段的中点，所以OP＝BC＝.在Rt△OCD中，OC＝AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，即OD＝＝＝8，故应填8.答案 82．(2022·天津，6)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A．①②B．③④C．①②③D．①②④解析 ①∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，故∠FBD＝∠CBD，即①正确．由切割线定理知②正确．③△BED∽△AEC，故＝，当DE≠CE时，③不成立．④△ABF∽△BDF，故＝，即AB·BF＝AF·BD，④正确．故①②④正确，选D.答案 D3．(2022·北京，5)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD28\n解析 由切割线定理可知CE·CB＝CD2.又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，得相似比：＝，即AD·DB＝CD2，∴CE·CB＝AD·DB，故选A.答案 A4．(2022·广东，15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．解析 依题意得△CDF∽△AEF，由EB＝2AE可知AE∶CD＝1∶3.故＝9.答案 95.(2022·陕西，15B)如图，弦AB与CD相交于⊙O内的一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.解析 易知∠BCE＝∠PED＝∠BAP，∴△PDE∽△PEA，∴＝，又PD＝2DA＝2，∴PA＝3，PE2＝PA·PD＝6，故PE＝.答案 6.(2022·湖北，15)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则的值为________．解析 设圆半径为R，则AD＝R，DO＝，由射影定理知OD2＝OE·OC，∴＝OE×R，∴OE＝，∴CE＝OC－OE＝R－＝R，∴＝8.答案 87．(2022·陕西，15B)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为8\nE，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析 圆的半径OC＝3，OE＝2，CE＝DE＝＝.而△DFE∽△DEB，∴＝，DF·DB＝DE2＝5.答案 58.(2022·江苏，21)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.考点二 圆的初步1．(2022·天津，5)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )A.B．3C.D.解析 根据相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB＝AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝.选A.答案 A2．(2022·重庆，14)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________．解析 首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，再有相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2.答案 23．(2022·湖北，15)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．8\n解析 由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q为PA的中点，∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.答案 44.(2022·湖南，12)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．解析 设AO与BC交于点M，∵AO⊥BC，BC＝2，∴BM＝，又AB＝，∴AM＝1.设圆的半径为r，则r2＝()2＋(r－1)2，解得r＝.答案 5．(2022·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______．解析 ∵四边形BCFE内接于圆，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACB，∴＝，又∵BC＝6，AC＝2AE，∴EF＝3.答案 36.(2022·北京，11)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析 由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，DB＝16a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB，即9＝9a·(9a＋16a)，解得a＝，∴PD＝，PB＝5，在Rt△PBA中，有AB＝4.答案 47.(2022·湖南，11)如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．8\n解析 如图，取AB的中点C，连接OB、OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝＝.∴圆O的半径为OB＝＝.答案 8．(2022·天津，12)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．解析 由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，由于AF＝2FB，可解得BF＝1，所以BE＝.由切割线定理得CE2＝EB·EA＝，即CE＝.答案 9．(2022·湖南，16)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明 (1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.10．(2022·陕西，22)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.8\n(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．(1)证明 因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解 由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.11．(2022·新课标全国Ⅱ，22)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．(1)证明 由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解 由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.8\n所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.12．(2022·新课标全国Ⅱ，22)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明 (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.13．(2022·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明 (1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．8\n又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.8
