(六)不等式选讲1．(2022·福建省百校模拟)已知函数f(x)＝|x－a|－|x－1|.(1)当a＝2时，求不等式0<f(x)≤1的解集；(2)若∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤a2－3，求a的取值范围．解 (1)当a＝2时，因为f(x)＝|x－2|－|x－1|≤|(x－2)－(x－1)|＝1，所以f(x)≤1的解集为R；由f(x)>0，得|x－2|>|x－1|，则|x－2|2>|x－1|2，即x2－4x＋4>x2－2x＋1，解得x<.故不等式0<f(x)≤1的解集为.(2)当a≤0，x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－a－|x－1|＝则f(x)max＝1－a≤a2－3，又a≤0，所以a≤－；当0<a<1，x∈[1，＋∞)时，f(x)＝1－a>0>a2－3，故0<a<1不合题意；当a≥1，x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|x－a|－|x－1|≤|(x－a)－(x－1)|4\n＝|a－1|＝a－1，当且仅当0<x≤1时等号成立，则a2－3≥a－1，又a≥1，所以a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．2．(2022·滨州、淄博模拟)已知函数f(x)＝|x－2|－|2x＋1|.(1)解不等式f(x)≤2；(2)若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．解 (1)f(x)＝原不等式等价于或或解得x≤－1或－≤x<2或x≥2，综上所述，不等式的解集是.(2)∃b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于(|a＋b|－|a－b|)max≥f(x)max.因为|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，所以|a＋b|－|a－b|的最大值为2|a|；当x≤－时，f(x)≤；当－<x<2时，－5<f(x)<；当x≥2时，f(x)≤－5，所以f(x)max＝，所以由原不等式恒成立，得2|a|≥，解得a≥或a≤－.即a的取值范围是∪.3．(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为m，且a＋b＝m(a，b>0)，求＋的取值范围．4\n解 (1)由f(x)≤1，即|2x＋1|≤1，得－1≤2x＋1≤1，解得x∈[－1,0]．即不等式的解集为{x|－1≤x≤0}．(2)g(x)＝f(x)＋f(x－1)＝|2x＋1|＋|2x－1|≥|2x＋1－(2x－1)|＝2，当且仅当(2x＋1)(2x－1)≤0，即－≤x≤时取等号，∴m＝2.∴a＋b＝2(a，b>0)，∴＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，综上，＋的取值范围为.4．(2022·广州模拟)已知函数f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1|，g(x)＝|4x－1|－|x＋2|.(1)求不等式g(x)<6的解集；(2)若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．解 (1)由题意可得g(x)＝当x≤－2时，g(x)＝－3x＋3<6，得x>－1，无解；当－2<x<时，g(x)＝－5x－1<6，得x>－，即－<x<；当x≥时，g(x)＝3x－3<6，得x<3，即≤x<3.综上，g(x)<6的解集为.(2)因为存在x1，x2∈R，使得f(x1)＝－g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)，x∈R}∩{y|y＝－g(x)，x∈R}≠∅，又f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1|≥|(3x－3a)－(3x＋1)|＝|3a＋1|，当且仅当(3x－3a)(3x＋1)≤0时取等号．4\n由(1)可知，g(x)∈，则－g(x)∈，所以|3a＋1|≤，解得－≤a≤.故a的取值范围为.5．(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集为M.(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)．(1)解 将f(x)＝|x＋4|代入不等式，整理得|x＋4|＋|2x－2|>8.①当x≤－4时，不等式转化为－x－4－2x＋2>8，解得x<－，所以x≤－4；②当－4<x<1时，不等式转化为x＋4＋2－2x>8，解得x<－2，所以－4<x<－2；③当x≥1时，不等式转化为x＋4＋2x－2>8，解得x>2，所以x>2.综上，M＝{x|x<－2或x>2}．(2)证明 因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．4
