专题检测（二十五）不等式选讲大题专攻强化练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1；若a>0，则|ax－1|<1的解集为，所以≥1，故0<a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．2．(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．解：(1)法一：由题意f(x)＝当x≤时，f(x)＝－3x＋3≤3，解得x≥0，即0≤x≤，当＜x＜2时，f(x)＝x＋1≤3，解得x≤2，即＜x＜2，当x≥2时，f(x)＝3x－3≤3，解得x≤2，即x＝2.综上所述，原不等式的解集为[0，2]．\n法二：由题意f(x)＝作出f(x)的图象如图所示，注意到当x＝0或x＝2时，f(x)＝3，结合图象，不等式的解集为[0，2]．(2)由(1)可知，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)≤ax的解集为空集可转化为f(x)＞ax对任意x∈R恒成立，即函数y＝ax的图象始终在函数y＝f(x)的图象的下方，当直线y＝ax过点A(2，3)以及与直线y＝－3x＋3平行时为临界情况，所以－3≤a＜，即实数a的取值范围为.3．(2019·郑州市第二次质量预测)设函数f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a＞0)，g(x)＝x2－x.(1)当a＝1时，求不等式g(x)≥f(x)的解集；(2)已知f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝当x≤－1时，x2－x≥－2x，得x≤－1；当－1＜x＜1时，x2－x≥2，即x≤－1或x≥2，舍去；当x≥1时，x2－x≥2x，得x≥3.综上，原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．(2)f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|＝当0＜a≤1时，f(x)min＝f(a)＝a2＋1≥2，a＝1；\n当a＞1时，f(x)min＝f＝a＋≥2，a＞1.综上，a的取值范围为[1，＋∞)．4．(2019·洛阳市统考)已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时原不等式可化为|x＋1|－2|x|≥－1，设φ(x)＝|x＋1|－2|x|，则φ(x)＝则或或即－≤x≤2.∴原不等式的解集为.(2)存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，等价于|x＋1|≥2|x|＋a有解，即|x＋1|－2|x|≥a有解．即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max.由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴φ(x)max＝φ(0)＝1，∴a≤1.5．(2019·福州市质量检测)已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4的解集为M.(1)求集合M；(2)设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.解：(1)法一：当x＜－时，不等式化为：－2x－1＋1－2x＜4，即x＞－1，所以－1＜x＜－；当－≤x≤时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即2＜4，所以－≤x≤；当x＞时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即x＜1，\n所以＜x＜1.综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}．法二：设f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，则f(x)＝函数f(x)的图象如图所示，若f(x)＜4，由上图可得，－1＜x＜1.所以M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：法一：因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1.而|ab|＋1－(|a|＋|b|)＝|ab|＋1－|a|－|b|＝(|a|－1)(|b|－1)≤0，所以|ab|＋1≤|a|＋|b|.法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|，只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0，只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0，因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1，所以(|a|－1)(|b|－1)≤0成立．所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．6．(2019·合肥市高三模拟)设f(x)＝3|x－1|＋|x＋1|的最小值为k.(1)求实数k的值；(2)设m，n∈R，m≠0，m2＋4n2＝k，求证：＋≥.解：(1)f(x)＝3|x－1|＋|x＋1|＝当x＝1时，f(x)取得最小值k＝2.(2)证明：依题意，m2＋4n2＝2.\n＋＝＋＝·＝≥×(5＋2)＝.当且仅当＝，即m2＝2，n2＝0时，等号成立．7．(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|，若f(x)的最小值为1.(1)求实数a的值；(2)若a＞0，m，n均为正实数，且满足m＋n＝，求m2＋n2的最小值．解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|，①当a＞3，即－1＞－时，f(x)＝∵f(－1)－f＝(－3＋a)－＝＞0，∴f(－1)＞f，则当x＝－时，f(x)min＝－4－1－a＝1，∴a＝6.②当a<3，即－1<－时，f(x)＝∵f(－1)－f＝(3－a)－＝>0，∴f(－1)>f，\n则当x＝－时，f(x)min＝4＋1＋a＝1，∴a＝0.③当a＝3，即－1＝－时，f(x)＝4|x＋1|，当x＝－1时，f(x)min＝0不满足题意．综上，a＝0或a＝6.(2)由题意知，m＋n＝3.∵m>0，n>0，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤(m2＋n2)＋(m2＋n2)＝2(m2＋n2)，即m2＋n2≥(m＋n)2，当且仅当m＝n＝时取“＝”．所以m2＋n2≥，故m2＋n2的最小值为.8．(2019·长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)＝x|x－a|，a∈R.(1)当f(1)＋f(－1)>1时，求a的取值范围；(2)若a>0，∀x，y∈(－∞，a]，不等式f(x)≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．解：(1)f(1)＋f(－1)＝|1－a|－|1＋a|>1，若a≤－1，则1－a＋1＋a>1，得2>1，即a≤－1；若－1<a<1，则1－a－(1＋a)>1，得a<－，即－1<a<－；若a≥1，则－(1－a)－(1＋a)>1，得－2>1，此时不等式无解．综上所述，a的取值范围是.(2)由题意知，要使不等式恒成立，只需f(x)max≤.当x∈(－∞，a]时，f(x)＝－x2＋ax，f(x)max＝f＝.因为＋|y－a|≥，当且仅当(y－a)≤0，即－≤y≤a时等号成立，所以当y∈(－∞，a]时，＝＝a＋.于是≤a＋，解得－1≤a≤5.又a>0，所以a的取值范围是(0，5]．\n
