第2讲 函数的应用1．(2022·北京)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)2．(2022·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．3．(2022·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．4．(2022·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．15\n2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 (1)(2022·黄冈中学期中)函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,10)(2)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则( )A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．跟踪演练1 (1)函数f(x)＝x2－2x在x∈R上的零点的个数是( )A．0B．1C．2D．3(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )A．－5B．－6C．－7D．－8热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( )A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0)D．[－2,1)(2)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是______________________．思维升华 (1)f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；(2)关于x15\n的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域．跟踪演练2 (1)(2022·兰州第一中学期中)若函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)(2)(2022·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 (1)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元15\n(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元.1．f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为( )A．4B．5C．6D．72．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零点分别为x1，x2，则x1＋x2的值为________．4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.提醒：完成作业 专题二 第2讲15\n二轮专题强化练专题二第2讲 函数的应用A组 专题通关1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )A．(，1)B．(1，e－1)C．(e－1,2)D．(2，e)2．已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是( )A．1B．2C．3D．43．函数f(x)＝的所有零点的和等于( )A．－2B．－1C．0D．14．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a等于( )A.或－B．－C.D．以上都不对5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，f(x)＝若关于x的方程f(x)－ax＝0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是( )A．(，)B．(，)C．(16－6，)D．(，8－2)6．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备．15\n8．我们把形如y＝(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.9．已知函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？15\nB组 能力提高11．已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.如果函数g(x)＝f(x)－(x＋m)有两个零点，则实数m的值为( )A．2k(k∈Z)B．2k或2k＋(k∈Z)C．0D．2k或2k－(k∈Z)12．已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．13．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个．14．(2022·江苏)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．学生用书答案精析第2讲 函数的应用高考真题体验1．C [由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]2．(0，)解析 作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0<a<.15\n3．24解析 由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝3×192＝×192＝24.4．(1)1900 (2)100解析 (1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．热点分类突破例1 (1)C (2)A解析 (1)∵f(2)＝lg2－<0，f(3)＝lg3－>0，∴f(2)f(3)<0，故f(x)的零点在区间(2,3)内．(2)由f(a)＝ea＋a＝0，得a＝－ea<0；b是函数y＝lnx和y＝－x图象交点的横坐标，画图可知0<b<1；由h(x)＝lnc－1＝0知c＝e，所以a<b<c.15\n跟踪演练1 (1)D (2)C解析 (1)注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)<0，因此函数f(x)在(－1,0)上必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3，选D.(2)由题意知g(x)＝＝＝2＋，函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为－3，若设C的横坐标为t(0<t<1)，则点A的横坐标为－4－t，所以方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t)＋t＝－7.例2 (1)D (2)(－∞，2ln2－2]解析 (1)解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.(2)f′(x)＝ex－2，当x∈(－∞，ln2)时，f′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a.由于f()＝e>0，所以f(x)有零点当且仅当2－2ln2＋a≤0，所以a≤2ln2－2.跟踪演练2 (1)A (2)(0,2)解析 (1)m＝－log2x(x≥1)存在零点，则m的范围即为函数y＝－log2x(x≥1)的值域，∴m≤0.15\n(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．例3 解 (1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W＝(2)①当0<x≤10时，由W′＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10)时，W′<0，∴当x＝9时，W取得最大值，且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，故当x＝时，W取最大值38.综合①②知：当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大．跟踪演练3 (1)D (2)4050解析 (1)设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有＝(p＋0．25)%，解得x＝320.故该公司的年收入为320万元．(2)设每辆车的月租金为x(x>3000)元，则租赁公司月收益为y＝(100－)·(x15\n－150)－×50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.∴当x＝4050时，y取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．高考押题精练1．B [令2sinπx－x＋1＝0，则2sinπx＝x－1，令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sinπx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)＝g(1)，h()>g()，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.]2．(0,1)解析 画出f(x)＝的图象，如图．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0<m<1，即m∈(0,1)．3．2解析 令f(x)＝0，g(x)＝0，得5x＝－x＋2，log5x＝－x＋2.作出函数y＝5x，y＝log5x，y＝－x＋2的图象，如图所示，因为函数f(x)＝5x＋x－2，g(x)＝log5x＋x－2的零点分别为x1，x2，所以x1是函数y＝5x的图象与直线y＝－x＋2交点A的横坐标，x2是函数y＝log5x的图象与直线y＝－x＋2交点B的横坐标．15\n因为y＝5x与y＝log5x的图象关于y＝x对称，直线y＝－x＋2也关于y＝x对称，且直线y＝－x＋2与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y＝x对称．又线段AB的中点是y＝x与y＝－x＋2的交点，即(1,1)，所以x1＋x2＝2.4．20解析 如图，过A作AH⊥BC交于点H，交DE于点F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x，则S＝x(40－x)≤()2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号，所以满足题意的边长x为20m.15\n二轮专题强化练答案精析第2讲 函数的应用1．B [因为f()＝ln－4<0，f(1)＝ln2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln3－1>0，故零点在区间(e－1,2)内．]2．C [f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y＝()x和y＝cosx的图象在[0,2π]上的交点有3个．]3．C [令()x－2＝0，解得x＝－1，令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.]4．C [令|x|＝t，原函数的零点有且只有一个，即方程t2＋2at＋4a2－3＝0只有一个0根或一个0根、一个负根，∴4a2－3＝0，解得a＝或－，经检验，a＝满足题意．]5．D[f(x)是周期为4的周期函数．做出y＝f(x)和y＝ax的图象，由图可知，要使方程f(x)－ax＝0有5个不同实根，即y＝f(x)和y＝ax的图象有5个交点．由图可知，当x∈(3,5)时，f(x)＝－(x－4)2＋1，此时若y＝ax与其相切，则a＝8－2；又方程f(x)＝ax在(5,6)无解，得a>，故正实数a的取值范围是(，8－2)，选D.]6．(0,1]解析 当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是0<a≤1.7．10 [由题意可知x年的维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥215\n＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以该企业10年后需要更新设备．]8．4解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝＝在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．9．解 依题意，得①或②或③显然①无解；解②，得m<0；解③，得m＝1，经验证，满足题意．又当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，它显然有一个为正实数的零点．综上所述，m的取值范围是(－∞，0]∪{1}．10．解 设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y＝(2a－x)(b＋0.01bx)－0.4bx＝－[x2－2(a－70)x]＋2ab.依题意得2a－x≥·2a，所以0<x≤.又140<2a<420，即70<a<210.①当0<a－70≤，即70<a≤140时，x＝a－70，y取到最大值；②当a－70>，即140<a<210时，x＝，y取到最大值．故当70<a<140时，公司应裁员(a－70)人，经济效益取到最大；当140<a<210时，公司应裁员人，经济效益取到最大．11．D [令g(x)＝0，得f(x)＝x＋m.因为函数f(x)＝x2在[0,1]上的两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线为y＝x.当直线y＝x＋m与f(x)＝x2(x∈[0,1])的图象相切时，与f(x)在x∈(1,2]上的图象相交，也就是两个交点，此时g(x15\n)有两个零点，可求得此时的切线方程为y＝x－.根据周期为2，得m＝2k或2k－(k∈Z)．]12．m>1解析 函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根．∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0<<1，故m>1.13．4解析 当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，解得x＝－3或x＝；当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1.故函数y＝f[f(x)＋1]有4个不同的零点．14．4解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.15
