第47练 转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性.转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.常考题型精析题型一 正难则反的转化例1 已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围. 点评 本题中，A∩B≠∅，所以A是方程x2－4mx＋2m13\n＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根.分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求①的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”.变式训练1 若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________.题型二 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知函数f(x)＝x3＋x2＋x(0<a<1，x∈R).若对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围. 点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.变式训练2 (2022·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx.13\n(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln. 题型三 主与次的转化例3 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.点评 主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用.在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题.变式训练3 设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意13\na∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______________.题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由. 点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况.本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cosx＝t，转化为关于t的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y＝－(t－)2＋＋a－，0≤t≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题.变式训练4 若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是____________.高考题型精练1.已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c2.下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－)是极小值，f()是极大值；③f(x)既没有最小值，也没有最大值.A.①②③B.②13\nC.①③D.③3.(2022·湖南)若0<x1<x2<1，则( )A.ex2－ex1>lnx2－lnx1B.ex1－ex2<lnx2－lnx1C.x2ex1>x1ex2D.x2ex1<x1ex24.设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值为( )A.－2B.－C.－2D.－5.过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R、Q两点，则·的值为( )A.a2B.b2C.2abD.a2＋b26.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )A.B.[－1,0]C.[0,1]D.7.P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和圆(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )A.6B.7C.8D.98.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A.a<－1B.a>－1C.a>－D.a<－9.(2022·威海模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是________.13\n10.(2022·天津模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，则在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为________.11.f(x)＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤. 12.已知函数f(x)＝elnx，g(x)＝f(x)－(x＋1).(e＝2.718……)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*). 13\n 答案精析第47练 转化与化归思想常考题型精析例1 解 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，即U＝{m|m≤－1或m≥}.若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，则所以，使A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|m≤－1}.变式训练1 解析 g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤－9，即m≤－.所以，函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－<m<－5.例2 解 因为f′(x)＝x2＋x＋＝(x＋a－2)，所以令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝2－a.由0<a<1，知1<2－a<2.所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；令f′(x)<0，得<x<2－a，13\n所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max.因为当0<a≤时，－≥a；当<a<1时，a>－，由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2]).所以当0<a≤时，必有2×(2－a)2>－，结合0<a≤可解得1－<a≤；当<a<1时，必有2×(2－a)2>a，结合<a<1可解得<a<2－.综上，知所求实数a的取值范围是1－<a<2－.变式训练2 (1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0).当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点.当a>0时，因为e2x单调递增，－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f′(a)>0，当b满足0<b<且b<时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.13\n例3 解析 由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，∴ 即解得－<x<1.故当x∈时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0.变式训练3 (－∞，－1]∪[0，＋∞)解析 ∵f(x)是R上的增函数，∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1].(*)(*)式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立.令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.则解得x≥0或x≤－1，即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞).例4 解 y＝sin2x＋acosx＋a－＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－(cosx－)2＋＋a－.∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1，令cosx＝t，则y＝－(t－)2＋＋a－，0≤t≤1.当>1，即a>2时，函数y＝－(t－)2＋＋a－在t∈[0,1]上单调递增，∴t＝1时，函数有最大值ymax＝a＋a－＝1，解得a＝<2(舍去)；当0≤≤1，即0≤a≤2时，t＝函数有最大值，ymax＝＋a－＝1，13\n解得a＝或a＝－4(舍去)；当<0，即a<0时，函数y＝－(t－)2＋＋a－在t∈[0,1]上单调递减，∴t＝0时，函数有最大值ymax＝a－＝1，解得a＝>0(舍去)，综上所述，存在实数a＝使得函数有最大值.变式训练4 (－∞，－8]解析 设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a，得a＋4＝－，∵t>0，∴－≤－4，∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8].高考题型精练1.B[∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，∴a＝b.又∵函数y＝logax(a>1)为增函数，∴a＝log23>log22＝1，c＝log32<log33＝1，∴a＝b>c.]2.A[若f(x)＝(2x－x2)ex>0，则0<x<2，①正确；∵f′(x)＝－ex(x＋)(x－)，∴f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递减，在(－，)上单调递增.∴f(－)是极小值，f()是极大值，②正确；易知③也正确.]3.C[设f(x)＝ex－lnx(0<x<1)，则f′(x)＝ex－＝.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确.13\n设g(x)＝(0<x<1)，则g′(x)＝.又0<x<1，∴g′(x)<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，]4.C[由a2＋2b2＝6，得＋＝1.所以可设a＋b＝cosθ＋sinθ＝＝sin.因为－1≤sin≤1，所以a＋b≥－2.]5.A[当直线RQ与x轴重合时，||＝||＝a，故选A.]6.A[设P(x0，y0)，倾斜角为α，0≤tanα≤1，f(x)＝x2＋2x＋3，f′(x)＝2x＋2,0≤2x0＋2≤1，－1≤x0≤－，故选A.]7.D[设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可.∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.]8.A[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.]9.解析 由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的.因此，可把抽象数列化归为具体数列.比如，可选取数列an＝n(n∈N*13\n)，则＝＝.10.a解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示.则PQ＝＝＝a.所以P，Q两点在侧面上的最短路径的长为a.11.证明 ∵f′(x)＝x2－1，当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0，∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝，最小值为f(1)＝－，即f(x)在[－1,1]上的值域为[－，].所以x1，x2∈[－1,1]时，|f(x1)|≤，|f(x2)|≤，即有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|＋|f(x2)|≤＋＝.即|f(x1)－f(x2)|≤.12.(1)解 ∵g(x)＝f(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)，∴g′(x)＝－1(x>0).令g′(x)>0，解得0<x<1；令g′(x)<0，解得x>1.∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.(2)证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2⇒lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1)，取t＝(n∈N*)时，13\n则>ln＝ln，∴1>ln2，>ln，>ln，…，>ln，叠加得1＋＋＋…＋>ln(2···…·)＝ln(n＋1).即1＋＋＋…＋>ln(n＋1).13
