第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是( )A.1B.－C.1或－D.－1或解析 当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.答案 C2.过双曲线－＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则·的值为( )A.a2B.b2C.2abD.a2＋b2解析 当直线PQ与x轴重合时，||＝||＝a，故选A.答案 A3.已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )A.a＝b＜cB.a＝b＞cC.a＜b＜cD.a＞b＞c解析 ∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，∴a＝b.又∵函数y＝logax(a＞1)为增函数，∴a＝log23＞log22＝1，c＝log32＜log33＝1，∴a＝b＞c.答案 B4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A.{1，3}B.{－3，－1，1，3}C.{2－，1，3}D.{－2－，1，3}6\n解析 令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1，3}.答案 D二、填空题5.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________.解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.答案 2×3n－16.方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析 求k＝－sin2x－cosx的值域.k＝cos2x－cosx－1＝－.当cosx＝时，kmin＝－，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－≤k≤1.答案 7.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________.解析 若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.6\n若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.综上所述，＝2或.答案 2或8.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g′(x)＝＞0，g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案 4三、解答题9.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解 (1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an＋1－an}为常数列，所以{an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，6\na4＝a1＋3d，所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.所以当n＞5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，Tn＝a1＋a2＋…＋an，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.所以Sn＝10.(2022·辽宁五校协作体联考)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx－，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)＜f′(x)，求实数m的取值范围.解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0.①由f′(x)是偶函数得：b＝0.②又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，∴f′(0)＝c＝－1.③由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，6\n即f(x)＝x3－x＋3.(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－＜x2－1，即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx－x3＋x.设M(x)＝xlnx－x3＋x，x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2，设H(x)＝lnx－3x2＋2，x∈[1，e]，则H′(x)＝－6x＝.∵x∈[1，e]，∴H′(x)＜0，即H(x)在[1，e]上单调递减，于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1＜0，即M′(x)＜0，∴M(x)在[1，e]上单调递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3，于是有m＞2e－e3，故实数m的取值范围是(2e－e3，＋∞).11.(2022·重庆卷)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围.解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，6\n于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a，解得|PF1|＝，故|PF2|＝2a－|PF1|＝.由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，从而＋＝4c2，两边除以4a2，得＋＝e2.若记t＝1＋λ＋，则上式变成e2＝＝8＋.由≤λ＜，并注意到1＋λ＋关于λ的单调性，得3≤t＜4，即＜≤.进而＜e2≤，即＜e≤.6
