第46练 分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.常考题型精析题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围. 12\n 点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B＝∅和B≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1 若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值. 12\n点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值.变式训练2 (2022·江苏)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值. 12\n题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是( )A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3 设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且＞，求的值. 高考题型精练1.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )A.f(0)＋f(2)<2f(1)B.f(0)＋f(2)≤2f(1)12\nC.f(0)＋f(2)≥2f(1)D.f(0)＋f(2)>2f(1)2.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对3.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于( )A.－B.C.0D.－或04.(2022·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A.[，2]B.[，2]C.[，4]D.[2，4]5.(2022·大连模拟)抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为( )A.2B.3C.4D.66.在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.7.已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.8.(2022·浙江)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.12\n9.(2022·南昌模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程； (2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系. 10.已知a是实数，函数f(x)＝(x－a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2. 12\n答案精析第46练 分类讨论思想常考题型精析例1 解 ∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况.(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得解得a＝1.(2)当BA时，又可分为两种情况.①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a≤－1或a＝1.变式训练1 解析 若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，此时a＝，m＝，检验知符合题意.例2 解 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍).(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.变式训练2 解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax，12\n令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f＝a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f＝b＜0，从而或又b＝c－a，所以当a＞0时，a3－a＋c＞0或当a＜0时，a3－a＋c＜0.设g(a)＝a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，则在(－∞，－3)上g(a)＜0，且在∪上g(a)＞0均恒成立.从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1.此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪∪.综上c＝1.例3 D[由⇒取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4).(1)当3≤s<4时，可行域是四边形OABC，如图(1)所示，此时，7≤z<8.12\n(2)当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图(2)所示，zmax＝8.综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8].]变式训练3 解 若∠PF2F1＝90°，则2＝|PF2|2＋2，又∵＋＝6，＝2，解得＝，＝，∴＝.若∠F1PF2＝90°，则2＝2＋2，∴2＋(6－)2＝20，又|PF1|>|PF2|，∴＝4，＝2，∴＝2.综上知，＝或2.高考题型精练1.C[依题意，若任意函数f(x)为常函数时，则(x－1)f′(x)＝0在R上恒成立；若任意函数f(x)不是常函数时，当x≥1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，综上，则有f(0)＋f(2)≥2f(1).]2.D[∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.]3.D[不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0垂直(如图①)或直线y＝kx＋1与直线y＝2x垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形.12\n由图形可知斜率k的值为0或－.]4.B[由动直线x＋my＝0知定点A的坐标为(0,0)，由动直线mx－y－m＋3＝0知定点B的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动.故当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|取得最小值，(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝.当点P与点A或点B不重合时，在Rt△PAB中，有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.因为|PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，所以|PA|＋|PB|≤＝×＝2，所以≤|PA|＋|PB|≤2，所以|PA|＋|PB|的取值范围是[，2].]5.C[当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P一共有4个.]6.或6解析 当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立；当q≠1时，由题意，得所以由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－或q＝1(舍去).当q＝－时，a1＝＝6.综上可知，a1＝或a1＝6.7.4解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为12\na≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x<0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，令g(x)＝－，g′(x)＝>0，g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上得a＝4.8.6解析 输入n＝50，由于i＝1，S＝0，所以S＝2×0＋1＝1，i＝2，此时不满足S>50；当i＝2时，S＝2×1＋2＝4，i＝3，此时不满足S>50；当i＝3时，S＝2×4＋3＝11，i＝4，此时不满足S>50；当i＝4时，S＝2×11＋4＝26，i＝5，此时不满足S>50；当i＝5时，S＝2×26＋5＝57，i＝6，此时满足S>50，因此输出i＝6.9.解 (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，由题意得4＋＝5，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2.当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离；当m≠4时，由(1)知A(4,4)，则直线AK的方程为：y＝(x－m)，即4x－(4－m)y－4m＝0，圆心M(0,2)到直线AK的距离d＝，12\n令d>2，解得m>1.所以，当m>1时，直线AK与圆M相离；当m＝1时，直线AK与圆M相切；当m<1时，直线AK与圆M相交.10.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝(x>0).若a≤0，则f′(x)>0，f(x)有单调递增区间[0，＋∞).若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，当0<x<时，f′(x)<0，当x>时，f′(x)>0.f(x)有单调递减区间[0，]，有单调递增区间(，＋∞).(2)①由(1)知，若a≤0，f(x)在[0,2]上单调递增，所以g(a)＝f(0)＝0.若0<a<6，f(x)在[0，]上单调递减，在(，2]上单调递增，所以g(a)＝f()＝－.若a≥6，f(x)在[0,2]上单调递减，所以g(a)＝f(2)＝(2－a).综上所述，g(a)＝②令－6≤g(a)≤－2.若a≤0，无解.若0<a<6，解得3≤a<6.若a≥6，解得6≤a≤2＋3.故a的取值范围为3≤a≤2＋3.12
