专题能力训练22 转化与化归思想(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( ) (参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.10932.若不等式>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式<0的解集是( )ABCD3.已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1和圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为e1和e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值为( )ABCD4.(2022浙江嘉兴模拟)已知a,b∈R,则“|a+b|≤3”是“|a|+|b|≤3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=4sin2-2cos2x+1且给定条件p:x,又给定条件q:“|f(x)-m|<2”,且p是q的充分条件,则实数m的取值范围是( )A.(3,5)B.(-2,2)C.(1,3)D.(5,7)6.已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是( )ABCD7.已知实数a,b满足ln(b+1)+a-3b=0,实数c,d满足2d-c+=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )A.15\nB.2C.3D.48.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若实数x,y满足的取值范围是 . 10.已知x>0,y>0,=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 . 11.(2022浙江温州模拟)设ω=N*且ω≤15,则使函数y=sinωx在区间上不单调的ω的个数是 . 12.已知实数u,v满足u>|v|,2u=3(u2-v2),则3u+v的取值范围是 . 13.设x,y是正实数,且x+y=1,则的最小值是 . 14.已知函数f(x)=(b∈R),若存在x,使得f(x)>-x·f'(x),则实数b的取值范围是 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知点A(1,0),点P是圆C:(x+1)2+y2=8上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.(1)求点E的轨迹方程;(2)若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.5\n参考答案专题能力训练22 转化与化归思想1.D 解析设=x=,两边取对数,得lgx=lg=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D.2.A3.A 解析①当动圆M与圆O1,O2都内切时,|MO2|+|MO1|=4-r=2a,∴e1=,②当动圆M与圆O1相外切而与O2相内切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a',∴e2=,∴e1+2e2=,令12-r=t(10<t<12),因此可得e1+2e2==2×≥2×,故选A.4.B5.D 解析f(x)=4sin2-2cos2x+1=2-2cos2x+1=2sin2x-2cos2x+3=4sin+3.令t=2x-,当≤x≤时,f(x)=g(t)=4sint+3,≤t≤,∴当≤x≤时,f(x)max=7,f(x)min=5.∵p是q的充分条件,∴对任意x∈,|f(x)-m|<2恒成立,即m-2<f(x)<m+2恒成立⇔解得5<m<7.6.C 解析设P(x1,y1),则PF1的中点Q在圆x2+y2=c2上,所以x2-2cx+b2-3c2=0,由条件可知该方程在(0,a]上有解,令f(x)=x2-2cx+b2-3c2,由于对称轴x=>a,故应有f(a)≤0⇒e≥.又e<1,所以≤e<1.选C.7.A 解析因为ln(b+1)+a-3b=0,则a=3b-ln(b+1),即设y=3x-ln(x+1).因为2d-c+=0,则c=2d+,即设y=2x+.要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值.因为y'=3-,则y'=2时,有x=0,y=0,即过原点的切线方程为y=2x.最短距离为d==1.故选A.8.A 解析设双曲线半焦距为c,则F(c,0),A(a,0),不妨设点B在点F的上方,点C在点F的下方,则B,C.5\n由于kAC=,且AC⊥BD,则kBD=-,于是直线BD的方程为y-=-(x-c),由双曲线的对称性知AC的垂线BD与AB的垂线CD关于x轴对称,所以两垂线的交点D在x轴上,于是xD=+c=+c,从而D到直线BC的距离为c-xD=-,由已知得-<a+,即-<a+c,所以b4<a2(c-a)(c+a),即b4<a2b2,<1,从而0<<1.而双曲线渐近线斜率k=±,所以k∈(-1,0)∪(0,1).9. 解析如下图所示,作出不等式组所表示的区域,其几何意义为可行域内一点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率,故由图可知,zmin=,zmax=,故填.10.(-4,2) 解析由=1可得,2y+x=2y·x·,∴2y+x≥8.由x+2y>m2+2m恒成立.故可得m2+2m<8.所以-4<m<2.11.812. 解析满足u>|v|,2u=3(u2-v2)的点为uOv坐标平面上的双曲线-v2=的右支,故当直线3u+v=t与之相切时取到最小,联立方程得24u2-(18t-2)u+3t2=0,令Δ=0得t=1+.故所求范围为.13. 解析设x+2=s,y+1=t,则s+t=x+y+3=4,所以=(s+t)+-6=-2,因为(s+t)=,所以.14. 解析由题意,得f'(x)=,则f(x)+xf'(x)=.若存在x∈,使得f(x)>-x·f'(x),则1+2x(x-b)>0,所以b<x+.设g(x)=x+,则g'(x)=1-,当≤x≤时,g'(x)<0;当≤x≤2时,g'(x)>0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,又当x=时,g,当x=2时,g(2)=.所以当x=2时,函数g(x)取最大值,最大值为,5\n所以b<g(x)max=.15.解(1)由题意知|EP|=|EA|,|CE|+|EP|=2,∴|CE|+|EA|=2>|CA|=2,∴E的轨迹是以C,A为焦点的椭圆,其轨迹方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则将直线与椭圆的方程联立得消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0,m2<2k2+1.①x1+x2=-,x1x2=.原点O总在以PQ为直径的圆的内部,∴<0,即x1x2+y1y2<0,而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,∴<0,即m2<,∴m2<,且满足①式m的取值范围是.16.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于lnx->0.设g(x)=lnx-,则g'(x)=,g(1)=0.(ⅰ)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,因此g(x)>0;(ⅱ)当a>2时,令g'(x)=0得x1=a-1-,x2=a-1+.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.综上,a的取值范围是(-∞,2].5
