【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题27转化与化归思想、数形结合思想（含解析）一、选择题1．已知f(x)＝2x，则函数y＝f(|x－1|)的图象为( )[答案] D[解析] 法一：f(|x－1|)＝2|x－1|.当x＝0时，y＝2.可排除A、C．当x＝－1时，y＝4.可排除B．法二：y＝2x→y＝2|x|→y＝2|x－1|，经过图象的对称、平移可得到所求．[方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质；③能用数形结合的思想以图辅助解题．2．作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．3．利用基本函数图象的变换作图①平移变换：y＝f(x)y＝f(x－h)，y＝f(x)y＝f(x)＋k.16\n②伸缩变换：y＝f(x)y＝f(ωx)，y＝f(x)y＝Af(x)．③对称变换：y＝f(x)y＝－f(x)，y＝f(x)y＝f(－x)，y＝f(x)y＝f(2a－x)，y＝f(x)y＝－f(－x)．2．(文)(2022·哈三中二模)对实数a和b，定义运算“*”：a*b＝，设函数f(x)＝(x2＋1)*(x＋2)，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(2,4]∪(5，＋∞)B．(1,2]∪(4,5]C．(－∞，1)∪(4,5]D．[1,2][答案] B[解析] 由a*b的定义知，当x2＋1－(x＋2)＝x2－x－1≤1时，即－1≤x≤2时，f(x)＝x2＋1；当x<－1或x>2时，f(x)＝x＋2，∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴方程f(x)－c＝0恰有两不同实根，即y＝c与y＝的图象恰有两个交点，数形结合易得1<c≤2或4<c≤5.[方法点拨] 关于函数零点的综合题，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点：①分离参数，将参数的取值范围转化为求函数的值域；②数形结合，利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论；③构造函数，借助于导数来研究．(理)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集是( )16\nA．(－3，－)∪(0,1)∪(，3)B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)[答案] B[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等式f(x)·cosx<0可等价转化为或，结合图形可得出解集．[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于或画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(－，－1)∪(0,1)∪(，3)．3．(文)已知an＝，数列{an}的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是( )A．an与Sn都有最大值B．an与Sn都没有最大值C．an与Sn都有最小值D．an与Sn都没有最小值[答案] C[解析] 画出an＝的图象，点(n，an)为函数y＝图象上的一群孤立点，(，0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大(理)(2022·安徽理，9)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )16\nA．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0[答案] C[解析] 考查函数的图象与应用．由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c>0，则c<0；当x＝0时，f(0)＝>0，所以b>0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C．[方法点拨] 1.给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩、对称变换，结合特殊点(与坐标轴的交点、最高(低)点、两图象的交点等)作出判断．2．由函数图象求解析式或求解析式中的参数值(或取值范围)时，应注意观察图象的单调性、对称性、特殊点、渐近线等然后作出判断．3．数形结合的途径(1)通过坐标系“形”题“数”解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．在高考中主要以解析几何作为知识载体来考查．值得强调的是，“形”“题”“数”解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)通过转化构造“数”题“形”解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°)与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线对应，将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．4．(文)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是( )16\nA．5 B．7 C．9 D．10[答案] C[分析] 由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)为周期函数，结合f(x)在[－1,1]上的解析式可画出f(x)的图象，方程f(x)＝lgx的解的个数就是函数y＝f(x)与y＝lgx的图象的交点个数．[解析] 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．由方程f(x)＝lgx知x∈(0,10]时方程有解，画出两函数y＝f(x)与y＝lgx的图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x>10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．[方法点拨] 数形结合在函数、方程、不等式中的应用(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的解题思路，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．(理)已知m、n是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a、b∈R)的两个极值点，且m∈(0,1)，n∈(1,2)，则的取值范围是( )A．(－∞，)∪(1，＋∞)B．(，1)C．(－4,3)D．(－∞，－4)∪(3，＋∞)[答案] D[解析] f′(x)＝x2＋ax＋2b，16\n由题意知∴(*)表示不等式组(*)表示的平面区域内的点与点(－2，－3)连线的斜率，由图形易知选D．5．(文)直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A．1<m<2B．<m<3C．1<m<D．<m<2[答案] D[分析] 动直线x＋y－m＝0是一族平行直线，直线与圆在第一象限内有两个不同交点，可通过画图观察找出临界点，求出m的取值范围．[解析] 直线斜率为定值k＝－.如图，平移直线到过点A(0,1)时，m＝，到相切时，＝1，∴m＝2，∴<m<2.(理)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )A．[1－2，1＋2] B．[1－，3]C．[－1,1＋2]D．[1－2，3][答案] D[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系问题，考查数形结合思想的应用．曲线y＝3－对应的图象如图所示，为圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，若直线y＝x＋b与此半圆相切，则可得2＝，解得b＝1－2，当且仅当b∈[1－2，3]时，直线与半圆有公共点，故应选D．[点评] 对于曲线y＝3－，在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误．[方法点拨] 数形结合法在解析几何中的应用16\n数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解．或将几何问题转化为方程或函数问题求解．解析几何是数形结合的典范．6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心[答案] B[分析] 因为是的单位向量，故λ(＋)对应向量若以A为起点，则终点在∠BAC的平分线上，结合－＝可知点P的轨迹．[解析] 如图所示，易知＝λ(＋)，而与是单位向量，故点P在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹通过△ABC的内心，应选B．[方法点拨] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．7．(文)已知点P在抛物线x2＝－2y上，抛物线的焦点为F，则点P到点Q(－1，－2)与点F距离之和的最小值为( )A．2B．C．D．316\n[答案] C[解析] 过P向抛物线的准线作垂线PP′，垂足为P′，由抛物线的定义知|PF|＝|PP′|，因此当P，Q，P′三点共线时，即P为P1点时，|PP′|＋|PQ|取到最小值|P1′Q|＝.(理)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为( )A．1B．C．D．[答案] D[解析] 在同一坐标系中画出函数f(x)＝x2与g(x)＝lnx的图象如图，作直线x＝t，由题意知t>0，则|MN|＝t2－lnt，令y＝t2－lnt(t>0)，则y′＝2t－，由y′>0得t>，由y′<0得0<t<，∴y＝t2－lnt在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故t＝时，y取最小值，即t＝时，|MN|取最小值．8．(文)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)的值域是( )A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)16\nC．D．∪(2，＋∞)[答案] D[解析] 由题意知f(x)＝＝＝所以结合图形，可得当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1,2]时，f(x)的值域为.故选D．(理)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(－∞，2]∪(－1，)B．(－∞，－2]∪(－1，－)C．(－1，)∪(，＋∞)D．(－1，－)∪[，＋∞)[答案] B[解析] 由已知得f(x)＝如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，则－1<c<－或c≤－2，应选B．[点评] 本小题考查分段函数及函数图象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用，难度较大．9．函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )16\nA．2 B．4 C．6 D．8[答案] D[解析] 依题意：两函数的图象如图所示：由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D．10．(文)函数f(x)＝－4log2·log24x在区间上的最大值等于( )A．－24B．16C．25D．24[答案] C[解析] 设log2x＝t，则t∈[－3,2]，故函数f(x)可转化为y＝g(t)＝－4(t－3)(t＋2)＝－4t2＋4t＋24＝－4(t－)2＋25，因为t∈[－3,2]，所以当t＝时，函数g(t)取得最大值为25.故选C．[方法点拨] 1.化归的原则(1)目标简单化原则，即复杂的问题向简单的问题转化；(2)和谐统一性原则，即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；(3)具体化原则，即化归方向应由抽象到具体；(4)低层次原则，即将高维空间问题化归成低维空间问题．基于上述原则，化归就有一定的策略．我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法可依”通常可以从以下几个方面去考虑：(1)抽象问题向具体问题化归；(2)一般问题向特殊问题化归；(3)正向思维向逆向思维化归；(4)命题向等价命题化归．2．转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．16\n(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化．(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．(9)一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化．(10)等价命题法：把原问题转化为一个熟悉的或易于解决的等价命题，达到转化目的．(11)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决．以上所列的一些方法有些是互相交叉的，不能截然分割，只能说在哪一方面有所侧重．(理)已知集合A＝{a|∀x∈R,4x－a·2x＋1＋1>0}，B＝{a|∃x∈R，a·sinx＋cosx<－2}，则A∩B等于( )A．{a|a<－1}B．{a|a<1}C．{a|a≠1}D．{a|a<－1或a>1}[答案] A[解析] 由已知条件可得不等式a<＝(2x＋)对任意的x∈R恒成立，由(2x＋)≥×2＝1可得a<1，即A＝{a|a<1}；又由不等式asinx＋cosx＝sin(x＋φ)<－2有解，可得－<－2，解得a>1或a<－1，即得B＝{a|a>1或a<－1}，则A∩B＝{a|a<－1}，故应选A．二、填空题11．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是________．[分析] 利用满足条件的具体数列代入求值．[答案] 16\n[解析] 由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则＝＝.[方法点拨] 抽象问题具体化、复杂问题简单化的化归思想(1)本题如果从已知条件a＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1与d的关系后，代入所求式子：＝，也能求解，但计算较繁琐，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析，可以很快得到答案．(2)对于某个在一般情况下成立的结论或恒成立问题，可运用一般与特殊相互转化的化归思想，将一般性问题特殊化、具体化，使问题变得简便．三、解答题12．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M、N分别为SA、CD的中点．(1)证明：直线MN∥平面SBC；(2)证明：平面SBD⊥平面SAC．[解析] (1)如图所示，取SB中点E，连接ME，CE.因为M为SA的中点，故ME∥AB，且ME＝AB．因为N为菱形ABCD中边CD的中点，故CN綊AB，ME綊CN，所以四边形MECN是平行四边形，即MN∥EC．又因为EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以直线MN∥平面SBC．(2)连接AC，BD，相交于点O.因为SA⊥底面ABCD，故SA⊥BD．16\n因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为SA∩AC＝A，故BD⊥平面SAC．又因为BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAC．[方法点拨] 1.转化与化归思想转化与化归的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直观地表示为：其中问题B称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略．化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题．2．立体几何中的沿表面最短距离问题一般都转化为侧面展开图中两点间距离或点到直线的距离求解．3．立体几何问题要注意利用线线、线面、面面平行与垂直的相互转化探寻解题思路，对于不易观察的空间图形可部分地画出其平面图形．利用线面位置关系的判定与性质定理将空间问题向平面转化．4．立体几何中常采用等体积法将求距离问题转化为体积的计算问题．5．熟悉化原则，对于比较生疏的问题，要善于展开联想与想象，寻找学过知识中与其相近、相似或有联系的内容，探求切入点．13．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数．当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有的θ∈[0，]均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，则说明理由．[解析] 由f(x)是R上的奇函数可得f(0)＝0.又在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数．由题设条件可得f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)．16\n∵f(x)是R上的增函数，∴cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0.令cosθ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，(当且仅当t＝2－时取等号)，∴m>4－2.∴存在实数m满足题设的条件，m>4－214．试求常数m的范围，使曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．[分析] 正面解决较难，考虑到“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m·(x－3)对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．[解析] 先求m的取值范围，使抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称．由题意知m≠0，∴设抛物线上两点(x1，x)，(x2，x)关于直线y＝m(x－3)对称，于是有所以消去x2得2x＋x1＋＋6m＋1＝0.因为存在x1∈R使上式恒成立，所以Δ＝()2－4×2×(＋6m＋1)>0.即12m3＋2m2＋1<0，也即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0.因为6m2－2m＋1>0恒成立，所以2m＋1<0，所以m<－.即当m<－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，所以当m≥－时，曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．16\n[方法点拨] 正难则反、逆向思维的化归思想(1)正面思考问题一时无从着手，遇到困难时，可正难则反，逆向思维，即考虑问题的反面，用补集思想去探索研究．(2)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．(3)反证法也是正难则反的转化思想的体现．15．(文)(2022·沈阳市质检)投掷质地均匀的红、蓝两颗骰子，观察出现的点数，并记红色骰子出现的点数为m，蓝色骰子出现的点数为n.试就方程组解答下面问题．(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．[解析] (1)方程组只有一解，则n≠2m6√√×√√√5√√√√√√4√×√√√√3√√√√√√2×√√√√√1√√√√√√n m123456由上表可知方程组只有一个解的概率P＝＝.(2)由方程组解得若要方程组只有正解，则需6√×××××5√×××××4√×××××3××××××2×√√√√√1×√√√√√n m12345616\n由上表得可知方程组只有正解的概率P＝.(理)已知正项数列{an}满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析] (1)∵4Sn＝(an＋1)2，∴4Sn－1＝(an－1＋1)2(n≥2)，相减得an－an－1＝2，又4a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝＝(－)．所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.[方法点拨] 给出数列的递推关系求数列的通项、前n项和等一般要化归为基本数列；数列通项或前n项和中含有参数研究数列的单调性及最大(小)项等问题常常要分类讨论；给出某项或项的关系式或给出前n项和的关系等，常借助公式、性质列方程求解．16
