第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位解析 因为y＝sin3x＋cos3x＝cos，要得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位，故选C.答案 C2.(2022·广州期末)若函数f(x)＝sinax＋cosax(a＞0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为( )A.－B.C.D.(0，0)解析 f(x)＝2sin，∵T＝＝2，∴a＝π.∴f(x)＝2sin，∴当x＝时，f(x)＝0.故选B.答案 B3.(2022·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x＝B.x＝C.x＝D.x＝解析 由f(x)dx＝0，得sin(x－φ)dx＝0，7\n即－cos(x－φ)|＝0，∴－cos＋cosφ＝0，∴cosφ－sinφ＝0，∴cos＝0，∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋，∴f(x)＝sin，由x－kπ－＝k′π＋得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，故选A.答案 A4.(2022·唐山期末)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上递减，则ω＝( )A.3B.2C.6D.5解析 ∵f(x)＝2sin，f＋f＝0.∴当x＝＝时，f(x)＝0.∴ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A、C；又f(x)在上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.答案 B5.(2022·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f(2)<f(－2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(－2)C.f(－2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(－2)解析 由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin(2x＋).于是f(0)＝A，f(2)＝Asin(4＋)，f(－2)＝Asin＝Asin，又∵－<－4<4－<<，其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，7\nf(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.又f(x)在单调递增，∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.答案 A二、填空题6.若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________.解析 f(x)＝sing(x)＝sin＝sin，关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－2φ＝kπ＋，∴φ＝－π－(k∈Z)，显然，k＝－1时，φ有最小正值－＝.答案 7.(2022·泰安模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.解析 观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).将代入上式得sin＝0，由已知得φ＝，故f(x)＝sin.函数图象的对称轴为x＝＝.又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴f(x1＋x2)＝f＝f＝sin＝.答案 8.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________.解析 由f(x)在上具有单调性，得≥－，7\n即T≥；因为f＝f，所以f(x)的一条对称轴为x＝＝；又因为f＝－f，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.答案 π三、解答题9.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝sincos－sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值.解 (1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.10.(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈时，h(x)有最小值为3，求a的值.解 (1)由题意，得·π＝2π2.所以ω＝1.又A＝2g＝2tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin.令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，7\n得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin＝3，即sin＝－.因为x∈，所以2x＋∈，所以2a＋＝－，即a＝－.11.(2022·福建卷)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m的取值范围；②证明：cos(α－β)＝－1.解 法一 (1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sinx.7\n从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).(2)①f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝＝sin(x＋φ).依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，).②因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解.所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ).所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2－1＝－1.法二 (1)同法一.(2)①同法一.②因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解.所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ).于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)7\n＝－＋＝－1.7
