课时作业75 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为( )ξ012345P2x3x7x2x3xxA.B．C.D．解析：根据概率和为1求出x＝，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.答案：C2．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为( )A．3×2－2B．2－4C．3×2－10D．2－8解析：∵E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C××11＝3×2－10.答案：C3．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析：由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案：B4．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ7\n－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( )A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.2718解析：由题意知，P(5<X<6)＝[P(2<X≤6)－P(3<X≤5)]＝＝0.1359.故选B.答案：B5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )A.B．C.D．解析：P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝.故选B.答案：B6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A．100B．200C．300D．400解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.7\n答案：B二、填空题7．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝________.解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.答案：0.368．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应奖金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的期望为________元．解析：∵a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝，E(ξ)＝×700＋×560＋×420＝500(元)．答案：5009．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率为，则该学生在面试时得分的期望为________．解析：由题得，该学生有可能答对0,1,2,3道，所以得分可能为－15,0,15,30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为－15,0,15,30对应的概率分别为C30，C21，C12，C03，即为，，，.所以期望为(－15)×＋0×＋15×＋30×＝.答案：三、解答题10．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．7\n解：(1)P＝2×＝.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为.(2)6场胜3场的情况有C种，∴P＝C33＝20××＝.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为.(3)由于X服从二项分布，即X～B，∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为.11．某单位举行一次全体职工的象棋比赛(实行三局两胜制)，甲、乙两人进入决赛．已知甲、乙两人平时进行过多次对弈，其中记录了30局的对弈结果如下表：甲先乙先甲胜109乙胜56根据表中的信息，预测在下列条件下的比赛结果：(1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先，试求甲在第一局获胜的概率；(2)若第一局由乙先，以后每局由负者先．①求甲以二比一获胜的概率；②若胜一局得2分，负一局得0分，用ξ表示甲在这场比赛中所得的分数，试求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．解：根据题中表格的信息可知，若甲先，则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是；若乙先，则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.(1)甲在第一局获胜的概率是P1＝×＋×＝.(2)①若甲以二比一获胜，则甲胜第一局和第三局，或甲胜第二局和第三局．所以，甲以二比一获胜的概率是P2＝××＋××＝.②由题意知，ξ的所有可能取值为0,2,4，则7\nP(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝2)＝××＋××＝；P(ξ＝4)＝×＋＝.所以ξ的分布列为ξ024PE(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.1．等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差为1，随机变量ξ等可能的取值x1，x2，x3，…，x9，则方差D(ξ)为( )A.B．C.D．解析：x1，x2，…，x9公差为1，则平均值为x5，方差D(ξ)＝(xi－x5)2＝×(42＋32＋22＋1)×2＝×60＝，选B.答案：B2．(2014·浙江卷)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)解析：列出随机变量ξ1，ξ27\n的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算p1，p2并比较大小．随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112P ξ2123P所以E(ξ1)＝＋＝，E(ξ2)＝＋＋＝，所以E(ξ1)<E(ξ2)．因为p1＝＋·＝，p2＝＋·＋·＝，p1－p2＝>0，所以p1>p2.答案：A3．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是________．解析：根据题意ξ＝0,1,2，而P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.答案：4．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件A81240328元件B71840296(1)试分别估计元件A、元件B为正品的概率；7\n(2)生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下：①求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；②记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为.(2)①设生产的5件元件B中正品件数为x，则有次品5－x件，由题意知100x－20(5－x)≥300得到x＝4或5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P(C)＝C()4×＋C()5＝.②随机变量X的所有取值为150,90,30，－30，则P(X＝150)＝×＝，P(X＝90)＝×＝，P(X＝30)＝×＝，P(X＝－30)＝×＝，所以X的分布列为：X1509030－30PE(X)＝150×＋90×＋30×－30×＝108元．7
