课后限时集训(六十八)离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时：40分钟一、选择题1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是( )A．1B．2C．D．A [∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为×＝，∴X～B，∴E(X)＝4×＝1.故选A.]2．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝( )A．0.4B．0.8C．0.6D．0.2B [由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]3．(多选)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD [由离散型随机变量X的分布列的性质得：q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD.]4．(多选)设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等．若P(X＞2)＝p，则下列结论正确的有\n( )A．μ＝0B．σ＝2C．P(0＜X＜2)＝－pD．P(X＜－2)＝1－pAC [∵正态分布N(μ，σ2)关于x＝μ对称，又X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，∴μ＝0，故A正确；∵正态分布N(μ，σ2)关于x＝μ对称，∴P(X＞0)＝，则P(0＜X＜2)＝P(X＞0)－P(X≥2)＝－p，故C正确；P(X＜－2)＝P(X＞2)＝p，σ不确定，故B，D错误．故选AC.]5．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B [对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以＝.对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以＝.对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2\nE(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以＝.对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以＝.所以B中的标准差最大．]二、填空题6．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________． [由X～B，E(X)＝2，得np＝n＝2，∴n＝6，则P(X＝2)＝C24＝.]7．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.6827，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9973)0.8186 [∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.]8．(2021·全国统一考试模拟演练)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.9545)．32 [P(|X－μ|＜2σ)＝0.9545，又μ＝0，σ2＝，即P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P＝0.9545，由题意2σ≤0.5，即2≤，所以n≥32.]三、解答题\n9．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η)．[解] (1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－3＝.所以4株中恰好有3株成活的概率P＝C31＝.(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B，所以ξ的分布列如下表：ξ01234PC4C1·3C2·2C3·1C4∴E(ξ)＝4×＝3.5，E(η)＝E(2.205ξ)＝2.205·E(ξ)＝7.7175(kg)．10．(2020·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；\n(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．[解] (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P＝C2＋C2＝.(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X＝0)＝C3＝，P(X＝1)＝C2＝，P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝C3＝，∴X的分布列为X0123P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.1．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )A．B．C．D．B [由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.]2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为\nX，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是( )A．B．C．D．C [由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.]3．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．p [记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.ξ01P1－pp数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤.故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.]4．(2020·广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．\n(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率．(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．[解] (1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0.当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.故当X∈(300,400]时，f(X)＞g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820P则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16.乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618P则E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估计A公司外卖配送员月薪平均为1800＋4E(X)＝3720(元)．估计B公司外卖配送员月薪平均为2100＋4E(Y)＝3780(元)．因为3780＞3720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等．(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：\n现从年龄在[42,52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)．(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光．由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元．记Y(单位：万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？[解] (1)年龄在[42,47)内的游客人数为150，年龄在[47,52]内的游客人数为100.若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42,47)内的游客人数为6，年龄在[47,52]内的游客人数为4.所以P(ξ＝3)＝＝.(2)①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3(万元)．②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3－0.5＝2.5，此时P(Y＝2.5)＝P(1＜X＜3)＝＝；若X≥3，则Y＝3×2＝6，此时P(Y＝6)＝P(3≤X≤5)＋P(X＞5)＝.此时Y的分布列如表：Y2.56P\n此时E(Y)＝2.5×＋6×＝5.3(万元)．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y＝3－1＝2，此时P(Y＝2)＝P(1＜X＜3)＝＝；若3≤X≤5，则Y＝3×2－0.5＝5.5，此时P(Y＝5.5)＝P(3≤X≤5)＝；若X＞5，则Y＝3×3＝9，此时P(Y＝9)＝P(X＞5)＝.此时Y的分布列如表：Y25.59P此时E(Y)＝2×＋5.5×＋9×＝6.2(万元)．由于6.2＞5.3＞3，则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．
