课时作业(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．(2015·芜湖模拟)若随机变量X～N(1,4)，P(X≤0)＝m，则P(0<X<2)＝( )A. B．C．1－2m D．1－m答案：C解析：由对称性：P(X≥2)＝P(X≤0)＝m，P(0<X<2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－m－m＝1－2m，故选C.2．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6答案：B解析：若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)，D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.3．(2015·南宁模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为( )A.B．C．5D．3答案：A解析：因为ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，所以＝3，解得a＝.4．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为( )A．1B．1.5C．2D．2.5答案：B5\n解析：ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.5．已知三个正态分布密度函数fi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3答案：D解析：正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图象一样“瘦高”，f3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.6．(2015·衡水模拟)若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )A．3·2－2 B．3·2－10C．2－4 D．2－8答案：B解析：E(ξ)＝np＝6，D(ξ)＝np(1－p)＝3⇒p＝，n＝12，P(ξ＝1)＝C12＝5\n.二、填空题7．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚不中得0分，则他罚球一次得分ξ的期望为________．答案：0.8解析：由题意，他得分的分布列为ξ10P0.80.2∴E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.答案：2解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.9．已知X～N(μ，σ2)，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N(100,100)，则本次考试120分以上的学生约有________人．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10.由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.95，所以P(80＜X≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有20000×＝500(人)．10．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单，在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．答案：解析：设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x－a，5\n且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝，得x＝.三、解答题11．(2015·潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的．评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．解：(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.该考生选择题得50分的概率为P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝2·2＝.(2)该考生所得分数X＝30,35,40,45,50.P(X＝30)＝2·2＝，P(X＝35)＝C2·2＋2·C··＝，P(X＝40)＝2·2＋C2C··＋2·2＝，P(X＝45)＝C2·2＋2C··＝，P(X＝50)＝2·2＝.∴该考生所得分数X的分布列为X30354045505\nP∴E(X)＝30×＋35×＋40×＋45×＋50×＝.12．(2015·日照一模)寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．(1)求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)记至少有2人是“幸福”为事件A，由题意知P(A)＝1－－＝1－－＝.(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为.ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝1)＝C·2＝；P(ξ＝2)＝C2·＝；P(ξ＝3)＝3＝.所以ξ的分布列为ξ0123PE(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝＝.5
