第十章第六节古典概型题组一简单古典概型的概率1.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )A.B.C.D.解析：根据题意，根本领件分别是第1、3、4、5、8路公共汽车到站，显然共有5个，而“乘客所需乘的汽车”包括4路和8路两个，故概率P＝.答案：D2．从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，那么这2个数的和为偶数的概率是( )A.B.C.D.解析：P＝＝＝.答案：B3．有4条线段，长度分别为1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，那么所取三条线段能构成一个三角形的概率是( )A.B.C.D.解析：从四条线段中任取三条，根本领件有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4个，能构成三角形的只有(3,5,7)这一个根本领件，故由概率公式，得P(A)＝.答案：A4．(文)已知函数f(x)＝6x－4(x＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合A，函数g(x)＝2x－1(x＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合B，任意x∈A∪B，那么x∈A∩B的概率是________．解析：根据已知条件可得A＝{2,8,14,20,26,32}，B＝{1,2,4,8,16,32}．∴A∪B＝{1,2,4,8,14,16,20,26,32}，6/6\nA∩B＝{2,8,32}．所以任取x∈A∪B，那么x∈A∩B的概率是＝.答案：(理)一名教师和4名获奖同学排成一排照像留念，那么教师不坐在两端的概率是________.解析：5人站成一排的不同站法为A，而教师不在两端的站法为A·A，∴P＝＝.答案：题组二复杂古典概型的概率5.某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，那么椭圆＋＝1的离心率e＞的概率是( )A.B.C.D.解析：当a>b时，e＝＞⇒＜⇒a＞2b，符合a＞2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；当b＝2时，有a＝5,6两种情况，总共有6种情况，那么概率为＝.同理当a<b时，概率为，所以e>的概率为.答案：D6．(2022·安阳模拟)在集合M＝{0，，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对任意x∈A，那么∈A”的集合的概率是________．解析：集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对任意x∈A，那么∈A”的集合A中的元素为1或，2且，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{6/6\n，2}，{1，，2}．因此，所求的概率为.答案：7．3粒种子种在甲坑内，每粒种子发芽的概率为.假设坑内至少有1粒种子发芽，那么不需要补种，假设坑内的种子都没有发芽，那么需要补种，那么甲坑不需要补种的概率为________．解析：因为种子发芽的概率为，种子发芽与不发芽的可能性是均等的．假设甲坑中种子发芽记为1，不发芽记为0，每粒种子发芽与否彼此互不影响，故其根本领件为(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)，共8种．而都不发芽的情况只有1种，即(0,0,0)，所以需要补种的概率是，故甲坑不需要补种的概率是1－＝.答案：8．(2022·福州模拟)甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否那么乙得1分，先积得3分者获胜，并完毕游戏．(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；(2)假设甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．解：(1)掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：(上上上)，(上上下)，(上下上)，(下上上)，(上下下)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；其中甲得2分、乙得1分的情况有3种，故所求概率p＝.(2)在题设条件下，至多还要2局，情形一：在第四局，硬币正面朝上，那么甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为；6/6\n情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，那么甲积3分、乙积2分，甲获胜，概率为.由概率的加法公式，甲获胜的概率为＋＝.题组三古典概型的综合应用9.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(－2,1)，那么向量p⊥q的概率为( )A.B.C.D.解析：∵向量p⊥q，∴p·q＝－2m＋n＝0，∴n＝2m，满足条件的(m，n)有3个：(1,2)，(2,4)，(3,6)，∴P＝＝.答案：B10．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，全是白球的概率为，那么a＝__________.解析：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5，…，a＋3号，从中任取2只，有如下根本事件(1,2)，(1,3)，…，(1，a＋3)，(2,3)，(2,4)，…，(2，a＋3)，…，(a＋2，a＋3)，共(a＋2)＋(a＋1)＋…＋1＝个可能情况，“全部是白球”记为事件A，事件A有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个，所以P(A)＝＝，解得a＝4.答案：411．已知集合A＝{－4，－2,0,1,3,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，在集合B中随机取点M.求：(1)点M正好在第二象限的概率；(2)点M不在x轴上的概率；(3)点M正好落在区域上的概率．解：满足条件的M点共有36个．(1)正好在第二象限的点有(－4,1)，(－4,3)，(－4,5)，(－2,1)，(－2,3)，(－2,5)，6/6\n故点M正好在第二象限的概率P1＝＝.(2)在x轴上的点有(－4,0)，(－2,0)，(0,0)，(1,0)，(3,0)，(5,0)，故点M不在x轴上的概率P2＝1－＝.(3)在所给区域内的点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(5,1)，故点M在所给区域上的概率P3＝＝.12．(文)抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．解：从图中容易看出根本领件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的根本领件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P(A)=.(2)记“点数之和大于5小于10”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的根本领件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)=.(理)在教室内有10个学生，分别佩戴着从1号到10号的校徽，任意选3人记录其校徽的号码．(1)求最小号码为5的概率；(2)求3个号码中至多有一个偶数的概率；(3)求3个号码之和不超过9的概率．解：(1)从10人中任取3人，共有等可能结果种，最小号码为5，相当于从6,7,8,9,10共5个中任取2个，那么共有C种结果.那么最小号码为5的概率为P1=.6/6\n(2)选出的3个号码中至多有1个偶数包括没有偶数和只有1个偶数两种情况，取法共有=60种，所以满足条件的概率为P2=.(3)三个号码之和不超过9的可能结果为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(1,3,4)，(1,3,5)，那么所求概率为P3=6/6
