第四章第二节平面向量的根本定理及坐标表示题组一平面向量根本定理及其应用1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.假设＝a，＝b，那么＝( )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：如以下图，由△DEF∽△BEA知＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.答案：B2．(2022·温州模拟)已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，那么m的取值范围是________．解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a与b不共线，即2m－3≠3m，∴m≠－3.答案：{m∈R|m≠－3}3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，那么＝________(用a、b表示)．解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.答案：－a＋b题组二平面向量的坐标运算4.在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，那么点C的坐标是( )A．(－4,2)B．(－4，－2)4/4\nC．(4，－2)D．(4,2)解析：设C(x，y)，那么D(，)，再由＝2得(0，－4)＝2(，)，∴4＋x＝0，－2＋y＝－4，即C(－4，－2)．答案：B5．假设α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，那么称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，那么a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，那么由⇒，∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：D6．(2022·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表正确的选项是( )解析：＝λa＋μb＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)．∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ.答案：A题组三平行(共线)向量的坐标表示7.(2022·北京高考)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向4/4\nD．k＝－1且c与d反向解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)．依题意d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)，∵c∥d，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．答案：D8．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，且a∥b，那么锐角θ等于( )A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.答案：B9．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；(2)假设(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．解：(1)∵a＝xb＋yc，∴(3,2)＝x(－1,2)＋y(4,1)＝(－x＋4y,2x＋y)．∴解得(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－.题组四平面向量根本定理及坐标表示的综合应用10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1，3)，假设点C满足|＋|＝|－|，那么C点的轨迹方程是( )A．x＋2y－5＝0B．2x－y＝0C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．3x－2y－11＝0解析：由|＋|＝|－|知⊥，所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.答案：C11．△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，那么角C＝________.4/4\n解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝＝，∴C＝60°.答案：60°12.如以下图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，那么＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由，共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.∴＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．法二：设P(x，y)，那么＝(x，y)，＝(4,4)．∵，共线，∴4x－4y＝0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量、共线．∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解①，②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．4/4
