第四节第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例题组一平面向量的数量积及向量的模1.(2022·四平模拟)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，那么(a－c)·(b－c)的最小值为( )A．－2B.－2C．－1D．1－解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2＝0－|c|·|a＋b|·cos〈c，(a＋b)〉＋1≥0－|c||a＋b|＋1＝－＋1＝－＋1＝－＋1＝－＋1.答案：D2．(2022·广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，那么F3的大小为( )A．2B．2C．2D．6解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．＝＋＋2F1F2＝＋＋2|F1||F2|cos60°＝28.∴|F3|＝2.答案：A3．(2022·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，那么|b·c|的值一定等于( )A．以a，b为两边的三角形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：设〈a，b〉＝θ，θ∈(0，π)，∵〈a，c〉＝，∴〈b，c〉＝－θ，以a，b为邻边的平行四边形面积为|a||b|sinθ，而|b·c|＝＝|b||c|sinθ，6/6\n又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a||b|sinθ.答案：C题组二两向量的夹角问题4.(2022·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，那么〈a，b〉＝( )A．150°B．120°C．60°D．30°解析：(a＋b)2＝c2，a·b＝－，cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.答案：B5．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈[，]，那么与夹角的取值范围是( )A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]解析：设〈·〉＝θ，由·＝||||cosθ＝3，得||||＝，∴S＝||||sinθ＝××sinθ＝tanθ.由≤tanθ≤，得≤tanθ≤1，∴≤θ≤.答案：B6．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，假设向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由已知，＝|e1|2＝4，＝|e2|2＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2t＋(2t2＋7)e1·e2＋7t＝2t2＋15t＋7.由2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.由2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，得，∴.由于2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，故(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)，故t的取值范围是(－7，－6/6\n)∪(－，－)．题组三两向量的平行与垂直7.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，那么实数x等于( )A．－4B．4C．0D．9解析：∵a＝(1,2)，b＝(x，－2)，∴a－b＝(1－x,4)，∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.答案：D8．(2022·广东高考)假设平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，那么a＝________.解析：设a＝(x，y)，那么a＋b＝(x＋2，y－1)由题意⇒∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．答案：(－1,1)或(－3,1)9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)假设a⊥b，求x的值；(2)假设a∥b，求|a－b|.解：(1)假设a⊥b，那么a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)假设a∥b，那么有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝＝2.题组四平面向量数量积的综合应用10.(2022·长郡模拟)已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n6/6\n(m，n∈R)，那么等于( )A. B．3C.D.解析：||＝1，||＝，·＝0，∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，又∵∠AOC＝30°，∴⊥.∴(m＋n)·(－)＝0，∴－m2＋n2＝0，∴3n－m＝0，即m＝3n，∴＝3.答案：B11．(2022·浙江高考)设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，那么它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( )A．3B．4C．5D．6解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，此题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点．答案：B12．(文)已知向量m＝(cos，cos)，n＝(cos，sin)，且x∈[0，π]，令函数f(x)＝2am·n＋b.(1)当a＝1时，求f(x)的递增区间；(2)当a<0时，f(x)的值域是[3,4]，求a、b.解：f(x)＝2am·n＋b＝2a(cos2＋sinx)＋b＝2a(cosx＋sinx＋)＋b＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝asin(x＋)＋a＋b.(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x＋)＋1＋b.6/6\n令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈[0，π]，∴f(x)的递增区间为[0，]．(2)当a<0时，∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，∴sin(x＋)∈[－，1]．当sin(x＋)＝－时，f(x)＝－a＋a＋b＝b，∴f(x)的最大值为b.当sin(x＋)＝1时，f(x)＝a＋a＋b＝(1＋)a＋b.∴f(x)的最小值为(1＋)a＋b.∴解得a＝1－，b＝4.(理)已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a,4cosB)，n＝(cosA，b)满足m∥n.(1)求sinA＋sinB的取值范围；(2)假设实数x满足abx＝a＋b，试确定x的取值范围．解：(1)因为m∥n，所以＝，即ab＝4cosAcosB.因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB.于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.因为0＜A＋B＜π.所以A＋B＝.故△ABC为直角三角形．sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，因为＜A＋＜，所以＜sin(A＋)≤1，故1＜sinA＋sinB≤.(2)x＝＝＝.设t＝sinA＋cosA(1＜t≤)，那么2sinAcosA＝t2－1，6/6\nx＝，因为x′＝＜0，故x＝在(1，]上是单调递减函数．所以≥.所以实数x的取值范围是[，＋∞)．6/6
