第三章第七节正弦定理和余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.(2022·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.假设a＝c＝＋，且∠A＝75°，那么b＝( )A．2B．4＋2C．4－2D.－解析：如以下图．在△ABC中，由正弦定理得=4，∴b=2.答案：A2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，那么的值等于______，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得＝.即＝.∴＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．答案：2 (，)3．(2022·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝sinC，6/6\n故b＝4ccosA.②由①、②解得b＝4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2022·天津模拟)在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，那么△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化为2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．答案：B题组三三角形面积公式的应用6/6\n6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，那么△ABC的面积等于( )A.B.C.或D.或解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，∴C＝或，A＝或，∴S＝或.答案：D7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，那么cosA＝( )A.B.C.D.解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.答案：B8．(2022·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)假设c＝1，求a的值．解：(1)因为cos＝，所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.题组四正、余弦定理的综合应用9.假设△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，那么BC边的长是( )A．5B．6C．7D．8解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，6/6\n得10＝bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.答案：C10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，那么三角形的最大角为( )A．60°B．75°C．90°D．115°解析：不妨设a为最大边．由题意，＝＝，即＝，∴＝，(3－)sinA＝(3＋)cosA，∴tanA＝2＋，∴A＝75°.答案：B(理)锐角△ABC中，假设A＝2B，那么的取值范围是( )A．(1,2)B．(1，)C．(，2)D．(，)解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，∴∴＜B＜，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，＝＝2cosB∈(，)．答案：D11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，假设m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，那么角B＝________.解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，6/6\n∴tanA＝，∴A＝.∵acosB＋bcosA＝csinC，∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.∴C＝，∴B＝.答案：12．(文)(2022·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝(1)判断△ABC的性状；(2)假设|＋|＝2，求·的取值范围．解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，假设B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，那么A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，＜C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．(理)(2022·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos6/6\n，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为.(1)求C的大小；(2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值．解：(1)m·n＝cos2－sin2＝cosC，又m·n＝|m||n|cos＝，故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝.(2)S＝absinC＝absin＝ab，又已知S＝，故ab＝，∴ab＝6.∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，∴＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab.∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝，∴a＋b＝.6/6
