第五章第一节数列的概念与简单表示法题组一由数列的前n项求数列的通项公式1.数列、、2、…，那么2是该数列的( )A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项解析：原数列可写成、、，….∵2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，∴n＝7.答案：B2．以下关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A．an＝n2－n＋1B．an＝C．an＝D．an＝解析：从图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.答案：C3．n个连续自然数按规律排成下表：0 3 → 4 7 → 8 11 …↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为( )A．↓→ B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2009＝4×502＋1，故2009在箭头↓的下方，从而2009与2010之间是箭头→，2010与2011之间是箭头↑.答案：B题组二由an与Sn的关系求通项公式4.(2022·福州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，那么k＝( )6/6\nA．9B．8C．7D．6解析：an＝＝∵n＝1时适合an＝2n－10，∴an＝2n－10.∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8，∴＜k＜9.又∵k∈N*，∴k＝8.答案：B5．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn到达最大？最大值是多少？解：(1)n＝1时，a1＝S1＝23；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋25.经历证，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N)．(2)法一：∵Sn＝－n2＋24n＝－(n－12)2＋144，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.法二：∵an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25＞0，有n＜，∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.题组三由an与an＋1(或an－1)的关系求通项公式6.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，那么an＝( )A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：法一：由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，……6/6\na2－a1＝ln，将以上n－1个式子累加得：an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln(··…·)＝lnn，∴an＝2＋lnn.法二：由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln3，排除B.答案：A7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，那么a1000＝( )A．5B．－5C．1D．－1解析：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a1000＝－1.答案：D8．根据以下各个数列{an}的首项和根本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)．解：(1)∵an＝an－1＋3n－1，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31.以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…6/6\na2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1··……＝＝.题组四数列的函数性质及综合应用9.已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是( )A．an＞an＋1B．an＜an＋1C．an＝an＋1D．与n的取值有关解析：＝÷＝＝＜1，∵an＋1＞0，∴an＜an＋1.答案：B10．(2022·温州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a501的“理想数”为2022，那么数列2，a1，a2…，a501的“理想数”为( )A．2022B．2022C．2022D．2022解析：∵a1，a2，…，a501的“理想数”为2022，∴＝2022，∴2，a1，a2…，a501的理想数为＝＝2＋＝2＋4×501＝2022.答案：B11．(文)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，那么S21＝________.6/6\n解析：a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，知数列为周期数列，周期T＝2，a1＋a2＝，∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.答案：(理)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，那么a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析：当n为奇数时，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，当n为偶数时，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，∴an＝(－1)n(2n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋…－199＋201＝2×50＝100.答案：10012．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)(理)假设bn＝n()an，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝＋a，①Sn－1＝＋a，②①－②即得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.6/6\n(3)(理)由(2)知an＝n，那么bn＝n()an＝，故Tn＝＋2×()2＋…＋n()n，①Tn＝()2＋2×()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1，②①－②得：Tn＝＋()2＋…＋()n－n()n＋1＝1－，故Tn＝2－，∴Tn＋1－Tn＝＞0，∴Tn随n的增大而增大．当n＝1时，T1＝；当n＝2时，T2＝1；当n＝3时，T3＝＝＞，所以n≥3时，Tn＞.综上，当n＝1,2时，Tn＜；当n≥3时，Tn＞.6/6
