第四章 平面向量、数系的扩大与复数的引入 (自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．(2022·天津高考)i是虚数单位，＝( )A．1＋2i B．－1－2iC．1－2iD．－1＋2i解析：＝＝－1＋2i.答案：D2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，那么a与b( )A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，那么a与b垂直．答案：A3．(2022·利辛模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假设(ma＋b)∥(a－2b)，那么实数m()A.B．－C.D.解析：ma＋b＝m(2,3)＋(－1,2)＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．∵(ma＋b)∥(a－2b)∴1－2m＝(3m＋2)×4.∴m＝－.答案：B4．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，那么等于9/9\n( )A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.答案：B5．假设在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝4，那么|5＋|＝( )A．4B．2C．2D.解析：根据三边边长易知△ABC为直角三角形．cos〈，〉＝－.∵|5＋|2＝25||2＋||2＋10||·||cos〈，〉＝160.∴|5＋|＝4.答案：A6．(2022·鞍山模拟)已知复数z＝1＋i，那么等于( )A．2iB．－2iC．2D．－2解析：＝＝＝2i.答案：A7．已知命题：“假设k1a＋k2b＝0，那么k1＝k2＝0”是真命题，那么下面对a，b的判断正确的是( )A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少有一个为09/9\n解析：假设a与b共线，由已知得k1a＝－k2b，如果a、b均为非零向量，与已知条件矛盾．如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k1a＋k2b＝0两边平方得a2＋b2＋2k1k2a·b＝0，因为k1＝k2＝0，所以a·b不一定等于0，排除C.答案：B8．假设平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，那么b的坐标为( )A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)．由|b|＝3得λ2＝9.λ＝±3.因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3.答案：A9．(2022·黄冈模拟)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(1＋sinA,1＋cosA)，q＝(1＋sinB，－1－cosB)，那么p与q的夹角是( )A．锐角B．钝角C．直角D．不确定解析：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0，故有p·q＝(1＋sinA)(1＋sinB)－(1＋cosA)(1＋cosB)＞0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角．答案：A10．已知非零向量，和满足·＝0，且·＝，那么△ABC为( )A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．非等腰三角形D．等腰直角三角形解析：、、均为单位向量．由·＝0，得||＝||.9/9\n由·＝1×1×cosC＝，得C＝45°.故三角形为等腰直角三角形．答案：D11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，假设OA＝6，那么·的值为( )A．13 B．26C．18 D．36解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝6×6cos60°－6×2cos120°－6×2cos120°＋2×2cos180°＝26.答案：B12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：ab＝(a1，a2)(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，那么y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )A．2，πB．2,4πC.，4πD.，π解析：设Q(x0，y0)，＝(x0，y0)，＝(x，y)，∵＝m＋n，∴(x0，y0)＝(x，y)＋＝＋＝，∴⇒代入y＝sinx中得，2y0＝sin，所以最大值为，周期为4π.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上．)13．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，假设为实数，那么实数m＝________.9/9\n解析：＝＝＝是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－.答案：－14．(文)假设向量a＝(1＋2λ，2－3λ)与b＝(4,1)共线，那么λ＝________.解析：依题意得4(2－3λ)－(1＋2λ)＝0，由此解得λ＝.答案：(理)已知a＝(3,2)，b(－1,2)，(a＋λb)⊥b，那么实数λ＝________.解析：∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝1＋5λ＝0，∴λ＝－.答案：－15．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，那么|a|＝________.解析：根据已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得＝，又|c|＝2，所以|a|＝.答案：16．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，假设直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，那么实数m＝________.解析：此题考察了向量的运算．由已知可得＝－＝i＋(m－1)j.当A＝90°时，·＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0，m＝－2.当B＝90°时，·＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0.当C＝90°时，·＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，此时m不存在．故m＝0或－2.答案：0或－2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)9/9\n17．(本小题总分值12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，化简解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，即－1－3i＋a＋bi＝0，那么，⇒∴z＝－4＋3i.∴＝＝＝3＋4i.18．(本小题总分值12分)如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.解：法一：设＝a，＝b，那么a＝＋＝d＋(－b)，①b＝＋＝c＋(－a)，②将②代入①得a＝d＋(－)[c＋(－a)]⇒a＝d－c，代入②得b＝c＋(－)(d－c)＝c－d.故＝d－c，＝c－d.法二：设＝a，＝b.所以＝b，＝a，因而⇒，即＝(2d－c)，＝(2c－d)．19．(本小题总分值12分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos(－θ)，sin(－θ))．(1)求证：a⊥b；(2)假设存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，9/9\ny＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时的最小值．解：(1)证明：∵a·b＝cos(－θ)·cos(－θ)＋sin(－θ)·sin(－θ)＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y得：x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.∴＝＝t2＋t＋3＝(t＋)2＋.故当t＝－时，有最小值.20．(本小题总分值12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知向量m＝(1,2sinA)，n＝(sinA,1＋cosA)，且满足m∥n，b＋c＝a.(1)求角A的大小；(2)求sin的值．解：(1)∵m∥n，∴1＋cosA＝2sin2A，即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)，cosA＝.又0＜A＜π，∴A＝.(2)∵b＋c＝a，∴由正弦定理可得sinB＋sinC＝sinA＝.又C＝π－(A＋B)＝－B，∴sinB＋sin＝，即sinB＋cosB＝，∴sin＝.21．(本小题总分值12分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．9/9\n(1)假设x＝，求向量a，c的夹角；(2)当x∈[，]时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．解：(1)设a，c的夹角为θ，当x＝时，cos〈a，c〉＝＝＝－cosx＝－cos＝cos.∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝.(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．∵x∈[，]，∴2x－∈[，2π]，∴sin(2x－)∈[－1，]，∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1.22．(本小题总分值14分)已知△ABC的面积为S，满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.(1)求角θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ的最小值．解：(1)由题意知，·＝||·||cosθ＝6，①S＝||·||sin(π－θ)＝||·||sinθ，②由，得＝tanθ，即3tanθ＝S.由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.9/9\n又θ为与的夹角，∴θ∈(0，π]，∴θ∈[，]．(2)f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ＝1＋sin2θ＋2cos2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ＝2＋sin(2θ＋)．∵θ∈[，]，∴2θ＋∈[，]，∴当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最小值为3.9/9
