课时作业28 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( )A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )A．－a＋bB.a－bC.a－bD．－a＋b解析：设c＝xa＋yb，则(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)∴解得，则c＝a－b，选B.答案：B3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )A．2B．3C．4D．5解析：根据题意，由于△ABC和点M满足＋＋＝0，则可知点M是三角形ABC的重心，设BC边的中点为D，则可知＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，故m＝3.答案：B4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)6\n解析：＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．答案：B5．已知△ABC的三个内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，向量m＝(a＋c，a－b)，n＝(b，a－c)，若m∥n，则∠C＝( )A.B.C.D.解析：因为向量m＝(a＋c，a－b)，n＝(b，a－c)，且m∥n，所以(a＋c)(a－c)－b(a－b)＝0，即a2＋b2－c2－ab＝0.由余弦定理，得cosC＝＝＝.故∠C＝.答案：B6．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，设O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )A.B.C.D.解析：依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.答案：D二、填空题7．已知O为坐标原点，A(1,1)，C(2,3)且2＝，则的坐标是________．解析：由2＝，得2(－)＝－，得＝3－2＝3(2,3)－2(1,1)＝(4,7)答案：(4,7)8．已知向量a＝(5，－3)，b＝(9，－6－cosα)，α是第二象限角，a∥(2a－b)，则tanα＝________.解析：∵向量a＝(5，－3)，b＝(9，－6－cosα)，6\n∴2a－b＝(1，cosα)，∵a∥(2a－b)，∴5cosα＋3＝0，∴cosα＝－，∵α是第二象限角，∴sinα＝，∴tanα＝－.答案：－9．已知m>0，n>0，向量a＝(m,1)，b＝(2－n,1)，且a∥b，则＋的最小值是________．解析：∵a∥b，∴m＝2－n，即m＋n＝2.又m>0，n>0，∴＋＝(m＋n)(＋)＝(1＋＋＋2)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝＋.(当且仅当n＝m时，等号成立)答案：＋三、解答题10．如上图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.解：设＝a，＝b.因为M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a.因而⇒6\n即＝(2d－c)，＝(2c－d)．11．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴A，B，M三点共线．1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴即∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：D2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足＝α＋β，其中α，β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．3x＋2y－11＝0C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．由＝α＋β，得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．6\n于是由③得β＝1－α代入①②，消去β得再消去α得x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.答案：D3．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：以O为原点，OA为x轴，垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0)，B，设OC与x轴的夹角为θ，则C(cosθ，sinθ)，由题知(cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y，则cosθ＝－y＋x，sinθ＝y，故x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin，当θ＝时，(x＋y)max＝2.答案：24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)，(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；(2)若a∥，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．6\n解：(1)∵＝(cosθ－1，t)，又a∥，∴2t－cosθ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t.①又∵||＝||，∴(cosθ－1)2＋t2＝5.②由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.当t＝1时，cosθ＝3(舍去)，当t＝－1时，cosθ＝－1，∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t＝，∴y＝cos2θ－cosθ＋＝cos2θ－cosθ＋＝＋＝2－，∴当cosθ＝时，ymin＝－.6
