课后限时集训(三十四)平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：40分钟一、选择题1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )A．4 B．3 C．2 D．0B [a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为( )A．B．－C．D．－D [∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]3．(多选)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则( )A．若a∥b，则x＝－2B．若x＝1，则|b－a|＝C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝3ABD [由a∥b可得x＝－2，故A正确；若x＝1，则b＝(2,1)，|b－a|＝|(2,1)－(1，－1)|＝＝，故B正确；当x＝－1时，cos〈a，b〉＝＝＝≠，故C错误；a＋2b＝(5，－1＋2x)，由5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x＝3，故D正确．]4．(2020·武汉模拟)已知向量|a|＝，向量a与b夹角为，且a·b＝－1，则|a－b|＝( )A．B．2C．D．4A [由平面向量数量积的定义可知，a·b＝|a|·|b|·cos＝·|b|·＝－1，\n∴|b|＝1，∴|a－b|＝＝＝＝.故选A.]5．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形A [∵(－)·(＋－2)＝0，∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0.设D为边BC的中点，则＋＝2，即·＝0.由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，∴△ABC为等腰三角形．故选A.]6．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )A．||2＝·B．||2＝·C．||2＝·D．||2＝ABD [因为·＝||||cosA＝||||，由射影定理可得||2＝·，选项A正确；因为·＝||||cosB＝||||，由射影定理可得||2＝·，选项B正确；由·＝||||cos(π－∠ACD)<0，||2>0，知选项C错误；由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以||||＝||||，结合选项A，B可得||2＝，选项D正确．故选ABD.]二、填空题7．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.\n [由题意，得a·b＝|a|·|b|cos45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.]8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．－ [∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.]9．(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a，b，|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 6 [设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2·cosθ＝0，解得cosθ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2×＝6.]三、解答题10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sinθ，cosθ)，0＜θ＜π.(1)若向量a∥b，求θ的值；(2)若向量a·b＝，求.[解] (1)∵a＝(1，－1)，b＝(sinθ，cosθ)，∴当a∥b时，1×cosθ＝(－1)×sinθ，即cosθ＝－sinθ.∵θ∈(0，π)，∴θ＝.(2)∵a＝(1，－1)，b＝(sinθ，cosθ)，∴当a·b＝时，1×sinθ＋(－1)×cosθ＝，可得sinθ－cosθ＝⇒(sinθ－cosθ)2＝⇒1－2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝.\n∴＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)×＝sinθcosθ＝.11．(2020·徐州模拟)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(sinx，sinx)，函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，f＝，求sinα的值．[解] ∵向量m＝(cosx，sinx)，n＝(sinx，sinx)，∴函数f(x)＝m·n＝sinxcosx＋sin2x＝＋＝sin＋.(1)T＝＝π.(2)f＝sin＋＝⇒sin＝，∵α∈，∴－＜α－＜，∴cos＝＝＝.∴sinα＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.1．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列说法正确的是( )A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形BCD [在△ABC中，＝c，＝a，＝b.\n若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；若a·b＝c·b，则b·(a－c)＝0，即·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cosA，由余弦定理可得cosA＝－cosA，即cosA＝0，即A＝，故△ABC为直角三角形，D正确．故选BCD.]2．(2020·广州模拟)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝80N，则G的大小为________，F2的大小为________．160N 80N [根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示：∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，∴OC＝160，OA＝80，∴G的大小为160N，F2的大小为80N．]3．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数)．[解] (1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴|a|＝＝1，同理|b|＝1.∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，因此，向量a＋b与a－b垂直；(2)a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(β－α)，∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，则k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2，即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，整理得a·b＝cos(β－α)＝0，∵0＜β＜α＜π，则0＜α＜π，0＜β＜π，所以，－π＜β－α＜0，∴β－α＝－.\n1.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，＝2，则·的最小值为________．5－2 [法一：(几何法)设圆心为O，AB中点为D.由题意得AB＝2×2×sin＝2，所以AC＝3.取AC中点M，连接PM，由题意得两式平方后相减得·＝2－2＝2－.要使·最小，就要使PM最小．连接OM，OD(图略)，易知当圆弧AB的圆心与点P，M共线时，PM最小．此时DM＝，所以OM＝＝，所以PM的最小值为2－，代入求得·的最小值为5－2.法二：(坐标法)如图，设圆弧AB所在圆的圆心为O，则以O为坐标原点，过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．连接OA，由已知得OA＝2，则A(－1，)，B(1，)，圆O的方程为x2＋y2＝4.连接OC，由＝2得BC＝1，故C(2，)，所以OC＝.设P(x，y)，则由题意可得－1≤x≤1.易得＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)．所以·＝(－1－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－(x＋2y)＋1＝5－(x＋2y)．不妨设θ∈，则·＝5－(2cosθ＋2×2sinθ)＝5－2(cosθ＋2sinθ)＝5－2sin(θ＋φ).\n因为sin(θ＋φ)的最大值为1，所以·的最小值为5－2.]2．已知O为△ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.(1)若＝a，＝b，＝c，＝h，试用a，b，c表示h；(2)证明：⊥；(3)若△ABC的∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|.[解] (1)由平行四边形法则可得：＝＋＝＋＋，即h＝a＋b＋c.(2)∵O是△ABC的外心，∴||＝||＝||，即|a|＝|b|＝|c|，而＝－＝h－a＝b＋c，＝－＝c－b，∴·＝(b＋c)·(c－b)＝|c|2－|b|2＝0，∴⊥.(3)在△ABC中，O为△ABC的外心，∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠BOC＝120°，∠AOC＝90°，于是∠AOB＝150°，|h|2＝|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3R2＋2|a|·|b|·cos150°＋2|b|·|c|·cos120°＋2|c|·|a|·cos90°＝(2－)R2，∴|h|＝.
