课时作业(二十八)平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题1．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．5答案：A解析：由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.2．(2014·山东)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )A．2B．C．0D．－答案：B解析：根据平面向量的夹角公式，可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简，得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意．3．(2015·阜新模拟)已知向量＝(4,6)，＝(3,5)，且⊥，∥，则向量＝( )A.B．C.D．答案：D解析：设＝(m，n)，则＝－＝(m－4，n－6)，∵⊥，∴4m＋6n＝0.①又∵∥，∴3(n－6)－5(m－4)＝0.②由①②联立解得m＝，n＝－.∴向量＝.故应选D.7\n4．(2015·东北三校一模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则实数λ等于( )A．－1 B．1 C．－2D．2答案：B解析：依题意，得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，(λa－b)·a＝(λ－4，－3λ＋2)·(1，－3)＝λ－4－3(－3λ＋2)＝10λ－10＝0，∴λ＝1，故应选B.5．设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于( )A.B．C．D．或答案：B解析：由题意，知|a|＝4，|b|＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.故应选B.6．(2015·江西师大附中联考)在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则·＋·＝( )A．0B．C．－D．4答案：D解析：建立如图所示的直角坐标系，7\n则A(2,0)，B(0,2)，P1，P2，∴＝，＝，＝(0,2)，＝(2,0)，∴＋＝(2,2)．故·＋·＝·(＋)＝·(2,2)＝＋＝4，·＋·＝(＋)＝·(2,2)＝＋＝4.二、填空题7．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.答案：解析：∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝.8．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．答案：22解析：因为＝＋＝＋，＝＋＝－，所以·＝·＝||2－||2－·＝2，将AB＝8，AD＝5代入，解得·＝22.7\n9．已知向量a＝，b＝(1，t)，若函数f(x)＝a·b在区间上存在增区间，则t的取值范围为________．答案：解析：f(x)＝a·b＝·(1，t)＝－cosx－tx，f′(x)＝sinx－t，f(x)在上存在增区间，即x∈时，f′(x)≥0成立有解，∴t≤sinx有解即可，∵sinx<，∴t<.故t的取值范围是.10．(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．答案：解析：∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.三、解答题11．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；7\n(2)若2a＋b与a－b的夹角是锐角，求x的取值范围．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)∴2a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(1－x,1)．由(2a＋b)∥(a－b)可知，2＋x＝5－5x.解得x＝.(2)由题意可知(2a＋b)·(a－b)＞0且2a＋b与a－b不共线，∴∴＜x＜且x≠.即所求x的取值范围是∪.12．(2015·德州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)．∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)．7\n若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0，即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，若t≠，则λ＝∵t∈∪，故λ∈(－∞，－12)∪.13．已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解：(1)m·n＝sin·cos＋cos2＝sin＋＝sin＋，∵m·n＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝.∵0<B<π，∴B＝.7\n∴0<A<.∴<＋<，sin∈.又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.故函数f(A)的取值范围是.7
