专题19把你的知识综合起来考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。基础知识回顾:1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，22\n最小的一个是最小值.应用举例类型一、利用导数研究函数的单调性【例1】【广东省中山市第一中学2022届高三第一次统测】已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值；（3）若函数f(x)与直线y=m有三个不同交点，求m的取值范围.【答案】（1）f(x)的单调递增区间是，(-∞,-1)，(3,+∞)单调递减区间是(-1,3)（2）-20.（3）-25<m<7【例2】【山西省河津三中2022届高三一轮复习阶段性测评】已知函数在处有极值10.（1）求实数的值；（2）设，讨论函数在区间上的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据22\n的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性。（2）由（1）可知，∴当变化时，的变化情况如下表：1+0-0+增极大减极小增∴①当，即时，在区间上的单调递增；22\n综上所述：当或时，在区间上单调递增；当时，在区间上上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.点睛：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误。（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况。类型二、用导数研究函数的极值(多维探究)【例3】已知函数.(1)求函数的极值点;(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.【答案】（1）当t≥0时,f(x)没有极值点；当t<0时,f(x)的极小值点为x=ln(-t),没有极大值点.（2）【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，考虑到导函数含有参数，对参数大于等于0,和小于0两种情况进行讨论。22\n(2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到，再令，原问题转化为，从而求出参数的范围。【例4】已知函数.（1）求函数；（2）设函数，其中a∈(1，2)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值.【答案】(1)是函数的极小值点，极大值点不存在.（2）的最小值为【解析】试题分析：对函数求导，令导数为零，求出22\n值，划分区间，研究导数在个区间内的符号，得出极值点；写出函数，求导得出，令，得出，研究的单调性，根据，得出的范围，求出最值.试题解析：（1）函数的定义域为，，由f′(x)=0得，所以f′(x)在区间上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极小值点，极大值点不存在.（2），则,由,得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.当a∈（1，2），，由于，当时，取得最小值为.类型三、利用导数求函数的最值【例5】【山东省临沂市临沭第一中学2022届高三10月学情调研测试】设函数讨论的单调性；若有最大值-ln2，求m+n的最小值.【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减;(2).22\n当时，，∴在上单调递增；当时，得，∴在上单调递增；在上单调递减.点睛：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负,导函数中有参数m，需要对m进行讨论，来判断正负；第二问已知函数最值可以求得两个变量的关系，，最终将转化成一个变量的表达式，，根据的范围来求出函数式子的范围即可.【例6】已知函数22\n(1)当时,求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最小值．(3)在（1）的条件下，设=+，求证：（），参考数据：.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论.(1)当时，，或。函数的单调增区间为(2)，当，单调递增，当，单调递减，单调递增，当，单调递减，22\n（3）令=—，，，单调递减，，，∴，==……=（）点睛：导数法解决函数的单调性问题(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是不恒等于的参数的范围．方法、规律归纳:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．实战演练:1．【甘肃省天水市第一中学2022届高三上学期第一次月考】已知函数，（）.（1）若，恒成立，求实数的取值范围；22\n（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1），恒成立，即求在上恒成立（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解.化简，得.设，研究单调性，画出图像即得解.试题解析：（1）由题意，得的定义域为，.，∴、随的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以.在上恒成立，∴.，、随的变化情况如下表:1322\n单调递增单调递减单调递增且，，，.作出在上的大致图象（如图所示）.所以，当时，在上有解.故实数的取值范围是.点睛：函数有零点的问题可以转化为方程有交点的问题，进而可以把方程进行变量分离，研究新函数的图像即得解.2．设函数，.（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）(]试题解析：（1）当时，由得，22\n∵，∴，∴有在上恒成立，令，由得，当，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，∴实数的取值范围为；（2）当时，函数，在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令，则，当，；当，，∴在上单减，在上单增，，又，如图所示，所以实数的取值范围为(]【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于的不等式组．3．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求函数的最值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.22\n4．设函数的定义域为，若对任意，，都有，则称函数为“”函数．已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于．（1）求的解析式，并求的减区间；22\n（2）设，若对任意，函数为“”函数，求实数的最小值．【答案】（1）在上递减（2）【解析】试题分析：根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出，得出函数的解析式，利用导数解求出函数的单调减区间；对任意，函数为“”函数，等价于在上，，根据函数的在上的单调性，求出的最值，根据条件求出的范围，得出结论.试题解析：（1），∴∴∴，，列表可知：极大值极小值所以在上递减．22\n5．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022届高三10月月考】已知函数.（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有；（3）若方程为实数）有两个正实数根且,求证:.【答案】（1）单调递增区间是,单调递减区间是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（2）设出点的坐标，利用导数求出切线方程，构造辅助函数，利用导数得到对于任意实数，有，即对任意实数，都有；（3）由（2）知，，求出方程的根，，由在22\n单调递减，得到，同理得到，根据不等式性质则可证得.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（3）由（2）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（II）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6．【河南省洛阳市2022-2022学年高三期中考试】已知函数为偶函数，当时，，且曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；；22\n（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值．【答案】（1）．（2）2．试题解析：（1）时，，所以曲线在点处的切线方程为，即．又曲线在点处的切线方程为，所以．（2）因为为偶函数，且当时，，那么，由得，两边取以为底的对数得，所以在上恒成立，设，则（因为）所以，设，易知在上单调递减，所以，22\n故，若实数存在，必有，又，所以满足要求，故所求的最小正整数为2．7．【黑龙江省大庆实验中学2022届高三上学期第一次月考】设函数fx=a-xex-1（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求fx的最大值；（2）当x∈-∞,0∪0,+∞时，fxx<1恒成立，证明：a=1．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（1）求出当a=1时，函数f（x）的导数，求得增区间和减区间，即可得到极大值，即为最大值f（0）；（2）①当x∈（-∞，0）时，fxx＜1⇔（a-x）ex＞x+1即a＞x+x+1ex，②当x∈（0，+∞）时，fxx＜1⇔（a-x）ex＜x+1，a＜x+x+1ex，分别求出右边函数的最值或值域，即可得证a=1．令h(x)＝ex－x，h′(x)＝ex－1＞0，则h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.故a＝1．【点睛】本题考查导数的运用，求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，解题时要注意不等式恒成立思想的运用．22\n8．已知函数．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在上为单调增函数，求a的取值范围；（3）设m，n为正实数，且m>n，求证：．【答案】(1)(2)试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意．从而切线斜率，切点为（1,0），所以切线方程为（2），因为f（x）在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．当时，由，得．设。，．所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．所以，所以．所以a的取值范围是．22\n9．【广东省中山市第一中学2022届高三第一次统测】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间是，，单调递减区间是（2）-20.（3）【解析】试题分析：（1）对函数求导，求出的解，可求得单调区间在。（2）由f(x)的单调性，可求出最小值。（3）由（1）结合y=f(x)的图像，可求的m的范围。试题解析：（1），当或x>3时，，所以f(x)在和单调递增当-1<x<3时，，所以f(x)在单调递减。（2）由（1）知f(x)在单调递增，在[-1,2]单调递减，所以。22\n（3）由（1）知f(x)在和单调递增，在单调递减，，由图像可知时，函数与直线有三个不同交点。10．已知函数，，，（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记）【答案】(1)切线恒过定点．(2)的范围是(3)在区间上，满足恒成立函数有无穷多个（2）令，对恒成立，因为22\n（利用参数分离得正确答案扣2分）（3）当时，，记，．因为，令，得所以在为减函数，在上为增函数，所以当时，设，则，所以在区间上，满足恒成立函数有无穷多个22
