课时作业(十六) 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题1．(2015·四平模拟)已知函数f(x)＝则f(x)dx的值为( )A.B．4C．6D．答案：D解析：f(x)dx＝x2dx＋(x＋1)dx＝x3＋＝＋＝.故应选D.2．(2015·江西红色六校联考二)若f(x)＝则f(2014)＝( )A.B．C．D．答案：C解析：f(2014)＝f(2014－5×402)＝f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝2－1＋cos3tdt.∵cos3tdt＝cos3td(3t)＝sin3t＝＝，∴f(2014)＝2－1＋＝.故应选C．3．若P＝sinxdx，Q＝(－cosx)dx，R＝dx，则P，Q，R的大小关系是( )A．P＝Q＞R B．P＝Q＜RC．P＞Q＞R D．P＜Q＜R6\n答案：A解析：P＝sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos＝1，Q＝(－cosx)dx＝－sinx＝－sinπ＋sin＝1，R＝dx＝lnx＝lnπ－ln＝ln2＜1，所以P＝Q＞R.故应选A．4．若dx＝3＋ln2(a＞1)，则a的值为( )A．2B．3C．4D．6答案：A解析：∵dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1－0＝3＋ln2，∴a＝2.故应选A．5．(2014·湖北)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A．0B．1C．2D．3答案：C解析：对于①，sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，－1(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数，故应选C．6．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S16\n答案：B解析：S1＝x3＝，S2＝lnx＝ln2，S3＝ex＝e2－e.∵ln2<1<，e2－e＝e(e－1)>e>，故S2<S1<S3，故应选B．7．(2015·重庆七校联盟联考)若f(x)＝则f(2016)等于( )A．0 B．ln2C．1＋e2 D．1＋ln2答案：D解析：f(2016)＝f(0)＝e0＋(ln2－ln1)＝1＋ln2.故应选D.8．记曲线y＝与x轴所围的区域为D，若曲线y＝ax(x－2)(a＜0)把D的面积均分为两等份，则a的值为( )A．－ B．－C．－ D．－答案：B解析：易知D表示半圆面，其面积为，所以ax(x－2)dx＝a＝×，解得a＝－，故应选B.9．如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0＜t＜1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.B．C．1D．2答案：A解析：设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝t3－t2＋.由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)min＝S＝.故应选A.二、填空题10．(2015·河北教学质量监测)已知函数f(x)＝则f(x)dx＝________.6\n答案：＋1解析：由已知，得f(x)dx＝sinxdx＋dx＝(－cosx)＋＝＋1.11．(2015·济南模拟)由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积为________．答案：解析：由x2－1＝0得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，作出图象如图，因此所求图形的面积为S＝|x2－1|dx＋(x2－1)dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝－＋－＝.12．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．答案：解析：由题意，f(x)＝则xf(x)＝∴xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx＋(－10x2＋10x)dx＝x3＋＝×＋－＝.6\n13．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min，则由函数f(x)的图象，x轴与直线x＝和直线x＝2所围成的封闭图形的面积为________．答案：＋ln2解析：作出图象后用定积分求面积．围成封闭图形如图中阴影部分，14．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．答案：解析：易知直线OP斜率存在，设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x0，y0)，则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，即＝，即kx－x＝－2k－，解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为.三、解答题6\n15．如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．解：由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.设两切线相交于点M，由消去y，得x＝，即点M的横坐标为.在区间上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间上，曲线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．因此，所求的图形的面积是S＝[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝x2dx＋(x2－6x＋9)dx＝＋＝.16．列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解：a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.设ts后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0，得t＝50(s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝vdt＝(20－0.4t)dt＝(20t－0.2t2)＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动．6
