第03节平面向量的数量积及其应用班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1.【北京卷】设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.2.【福建卷】设，，．若，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】A3.【2022浙江温州模拟】已知a,b为单位向量，|a+b|=2|a-b|，则a在a+b的投影为A.13 B.-263C.63D.223【答案】C【解析】由题设可得2+2a⋅b=2-4a⋅b+2，即a⋅b=13，则a⋅(a+b)=1+13=43，即|a|⋅|a+b|cosα=43，又|a+b|=2+2×13=223，故|a|cosα=43×322=63，应选答案C.4.是两个向量，且，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C-10-\n5.【重庆卷】已知向量，且，则实数=（）D.【答案】C【解析】因为所以，又因为，所以，，所以，，解得：，故选C.6.【辽宁卷】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．7.【2022四川宜宾二诊】若非零向量，满足，，则与的夹角为A.B.C.D.【答案】B【解析】由，即，所以由向量的夹角公式可得，又，所以，故选B.8．【2022陕西师范附属二模】已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）-10-\nA.B.C.D.【答案】C9．【2022四川成都二诊】已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知：，则：，且：，设所求向量的夹角为，有：，则与的夹角是.本题选择A选项.10.设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||＝||，则的值一定等于( )A．以，为两边的三角形的面积B．以，为两边的三角形的面积C．以，为邻边的平行四边形的面积D．以，为邻边的平行四边形的面积【答案】C．-10-\n平行四边形的面积．11.【重庆卷】若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为 （ ）A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意，即，所以，，，选A.12.【2022课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】-10-\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13.【2022浙江台州期末】已知不共线的平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,若向量c=λa+μb(λ,μ∈R),且λ+μ=1,c⋅b|b|=c⋅a|a|，则λ=__________．【答案】2514.【2022福建4月质检】设向量，且的夹角为，则实数__________．【答案】-1【解析】由题得：得15.已知分别是的中线，若，且，则与-10-\n的夹角为.【答案】【解析】由题设,解之得,因,即,也即,故,即,所以,应填.16.【2022浙江台州中学10月】在中，，，线段上的动点（含端点），则的取值范围是．【答案】.【解析】-10-\n三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，点M是边BC的中点.若，求的最小值.【答案】【解析】试题分析：设，由，即有，得，点是的中点，则，．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为．18.已知向量，.（1）若，，且，求；（2）若，求的取值范围.-10-\n【答案】（1）；（2）的取值范围为.整理得3分∴过4分∵∴6分（2）8分令9分∴当时，，当时，11分∴的取值范围为.12分19.已知向量，，对任意都有.（1）求的最小值；（2）求正整数,使【答案】（1）||的最小值为4；（2）或．【解析】(1)设,由=+得∴{xn}、{yn}都是公差为1的等差数列.3分∵=（1，7）∴,||的最小值为4..6分-10-\n∴或．..12分20.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角的余弦.【答案】（1）；.（2）【解析】试题分析：（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得，即．（2）-10-\n，.-10-
