第03节平面向量的数量积及其应用【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测平面向量的数量积①理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。②掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。③会用坐标表示平面向量的平行与垂直。2022•浙江文17；理7，17；2022•浙江文9；理8；2022•浙江文13；理15；2022·浙江文理15；2022•浙江10,15.1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查.3.备考重点：(1)理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1．平面向量的数量积及其运算一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.-11-\n3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝.4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)对点练习：【2022北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A-11-\n【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.2．向量的夹角与向量的模1.a·a＝|a|2，.2．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)3.|a·b|≤|a||b|.对点练习：【2022浙江高三模拟】设，，是非零向量.若，则（）A.B.C.D.【答案】D.3．平面向量垂直的条件a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＝0.对点练习：【2022浙江嘉兴、杭州、宁波效实五校联考】在中，，，则的最小值为______，又若，则________.【答案】【解析】，所以当时，取最小值；因为，所以，由.-11-\n【考点深度剖析】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1平面向量数量积的运算【1-1】已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【答案】A【解析】【1-2】已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（）A．B．2C．D．3【答案】A【解析】因向量，的夹角为，，，，则在方向上的投影为,故应选A.【1-3】【2022天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.【答案】-11-\n【领悟技法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【触类旁通】【变式一】【2022高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【变式二】已知向量，则在方向上的投影为（）A、B、C、D、【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.【变式三】在矩形中，，点在边上，若，则的值为（）A．0B．C．-4D．4-11-\n【答案】C【解析】考点2向量的夹角与向量的模【2-1】已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】因为向量，，两式相加和相减可得，和；由数量积的定义式知，.故应选B.【2-2】已知向量的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】∵，∴，又∵的夹角为，且，∴，解得或（舍去），-11-\n即.【2-3】【2022山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.【答案】【领悟技法】利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．【触类旁通】【变式一】【2022高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【答案】【解析】由,得,所以,解得.【变式二】△ABC中，△ABC的面积夹角的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角形面积公式及已知知，所以①，由知，，所以，代入①得，，所以，所以-11-\n，所以的夹角为，其取值范围为，故选B.【变式三】已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【答案】且考点3平面向量垂直的条件【3-1】【2022高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（）（A）4（B）–4（C）（D）–【答案】B【解析】由，可设，又，所以所以，故选B.【3-2】【2022安徽阜阳二模】已知,则_________．【答案】【解析】由题意得【3-3】【2022湖南娄底二模】已知，，，若向量满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.【领悟技法】-11-\n利用平面向量垂直的充要条件，可将有关垂直问题转化为向量的数量积来解决．【触类旁通】【变式一】【2022·全国卷Ⅰ】设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.【答案】－【变式二】【2022高考新课标2】已知向量，且，则（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.【易错试题常警惕】易错典例：已知向量（1）若为锐角，求的范围；（2）当时，求的值.易错分析：从出发解出的值，忽视剔除同向的情况．正确解析：（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．试题解析：（1）若为锐角，则且不同向温馨提醒：-11-\n(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，，．若，则．【答案】13【解析】解法一（配凑）：由题意得，，从而，平方整理得．-11-\n不妨设，，从而，，．由题意，从而，⑤④得，即．-11-
