补偿练4 三角函数与三角变换(建议用时：40分钟)1．若sin＝，则cos＝________．解析 由sin＝得sin＝，即cos＝，∴cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.答案 －2．已知cos＝，且α∈，则tanα＝________．解析 因为cos＝，所以sinα＝－，显然α在第三象限，所以cosα＝－，故tanα＝.答案 3．若函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．解析 y＝sin2xy＝sin2＝sin＝cos2x.答案 cos2x4．已知sin2α＝，则cos2＝________．解析 ∵cos2＝＝，∴cos2＝.答案 5．已知α是第四象限的角，若cosα＝，则tan2α＝________．5\n解析 由cosα＝，α在第四象限得tanα＝－，从而tan2α＝＝＝.答案 6．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，2α∈[0，2π)，则tanα＝________．解析 由三角函数定义可知sin2α＝，cos2α＝－，∴tan2α＝＝－.又2α∈[0，2π)，∴2α＝，∴α＝，∴tanα＝.答案 7．将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g＝________．解析 由于f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，其图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin的图象，∴g＝sin＝sin＝.答案 8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．5\n解析 由图知T＝－＝，T＝π，则ω＝＝2.注意到函数f(x)在x＝时取到最大值，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，而－＜φ＜，故φ＝－.答案 2，－9．函数y＝tanωx(ω＞0)与直线y＝a相交于A，B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sinωx－cosωx的单调增区间是__________．解析 由函数y＝tanωx(ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f(x)＝2sin.由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．答案 (k∈Z)10．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________．解析 由＝＝2tanα＝1，得tanα＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝＝－1.答案 －111．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则ω＝________，φ＝________．解析 由＝π，得ω＝2，因为将f(x)的图象向右平移个单位后得g(x)＝sin(2x－＋φ)的图象，又g(x)为偶函数，所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，取k＝－1，得φ＝.答案 2 12．已知函数f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f()＝1，则函数y＝5\nf(x)的图象向左平移个单位后所得图象的函数解析式为________．解析 由最小正周期为2，得＝2，则ω＝π，又f＝1，所以Asin＝1，A＝2，所以f(x)＝2sinπx，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象．答案 y＝2sin13．关于函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的四个结论：P1：最大值为；P2：把函数f(x)＝sin2x－1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)＝2(sinx－cosx)cosx的图象；P3：单调递增区间为(k∈Z)；P4：图象的对称中心为(k∈Z)．其中正确结论的个数为________．解析 因为f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin－1.所以最大值为－1，故P1错误．将f(x)＝sin2x－1的图象向右平移个单位后得到f(x)＝sin2－1＝sin－1的图象，故P2错误．由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即增区间为(k∈Z)，故P3正确．由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数的对称中心为，k∈Z，故P4正确．答案 214．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的图象关于直线x＝5\n对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号)①f(x)的图象过点；②f(x)在上是减函数；③f(x)的一个对称中心是；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sinωx的图象．解析 ∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f＝3sin，则sin＝1或－1，∵φ∈，∴＋φ∈，∴＋φ＝⇒φ＝，∴f(x)＝3sin.①：令x＝0⇒f(x)＝，正确．②：令2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z⇒kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.令k＝0⇒＜x＜，即f(x)在上单调递减，而在上单调递增，错误．③：令x＝⇒f(x)＝3sinπ＝0，正确．④：应平移个单位，错误．答案 ①③5
