补偿练5 平面向量与解三角形(建议用时：40分钟)1．若向量m＝(1，2)，n＝(x，1)满足m⊥n，则|n|＝________．解析 ∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝＝.答案 2．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．解析 S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案 3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为________．解析 由题知λa＋b＝(λ＋2，2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案 －14．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，B(－2，k)，若向量⊥，则实数k＝________．解析 因为A(1，3)，B(－2，k)，所以＝(－3，k－3)，因为⊥，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.答案 45.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝________．解析 以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0，0)，O(3，2)，P(5，0)，Q(4，6)，则＝(2，－2)，＝(1，4)，所以＋4\n＝(3，2)，而恰好＝(3，2)，故＋＝.答案 6．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．解析 依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝，C＝.答案 7．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1，3)，b＝(m，2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析 由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，≠，得m≠－3.答案 (－∞，－3)∪(－3，＋∞)8.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝________．解析 因为＝＋，＝＋，·＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝1.答案 19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于________．解析 由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，因为sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S＝bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得bcsinA＝·2bccos4\nA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.答案 45°10．在边长为1的正三角形ABC中，＝，E是CA的中点，则·等于________．解析 建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，依题意设D(x1，0)，E(x2，y2)，∵＝，∴＝(－1，0)，∴x1＝.∵E是CA的中点，∴x2＝－，y2＝.∴·＝·＝×＋×＝－.答案 －11．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为________．解析 依题意得，(3＋5)2＝(－4)2，92＋252＋30·＝162，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为||||sin∠AOC＝.答案 12．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于________．4\n解析 由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝＝＝－1，所以cosC＋1＝，即2cos2＝sincos，所以tan＝2，所以tanC＝＝＝－.答案 －13．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是________．解析 ∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝，|ta－b|＝＝＝≥.答案 14．给出以下结论：①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝20；②已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋|＝2；③已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．其中正确结论的序号为__________．解析 对于①，·＝abcos(π－C)＝－abcosC＝－20；对于②，|＋＋|＝|2|＝2||＝2；对于③，因为＝a＋5b，＝＋＝a＋5b，所以＝，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．答案 ②③4
