第03节三角恒等变换【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测简单的三角恒等变换①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2022浙江文6；理6；2022浙江文4,18；理4，18；2022浙江文11,16；理11；2022浙江文11；理10，16；2022浙江14，18.1.和（差）角公式；2.二倍角公式；3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.4.备考重点：(1)掌握和差倍半的三角函数公式；(2)掌握三角函数恒等变换的常用技巧.【知识清单】1.两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝；T(α－β)：tan(α－β)＝.变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或-16-\nf(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．对点练习：【2022广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于()A.7B.C.1D.0【答案】A本题选择A选项.2.二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝.变形公式：cos2α＝，sin2α＝1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2对点练习：【2022浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】-16-\n（Ⅱ）由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得解得所以的单调递增区间是．【考点深度剖析】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2022江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）A.B.C.D.【答案】D-16-\n【解析】故选D.【1-2】【2022河南省名校联盟第一次段考】已知圆O：x2+y2=1，点A1213,513，B-35,45，记射线OA与x轴正半轴所夹的锐角为α，将点B绕圆心O逆时针旋转α角度得到点C，则点C的坐标为__________．【答案】-5665,3365【解析】设射线OB与x轴正半轴的夹角为β，有已知有cosα=1213,sinα=513,cosβ=-35,sinβ=45，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-5665，且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3365，C点坐标为(-5665,3365).【1-3】已知：，，且，则=_______.【答案】【解析】，,【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．-16-\n2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【触类旁通】【变式一】已知均为锐角，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．∴==．【变式二】已知函数的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.-16-\n【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，由周期.当时，，可得，因为，所以．.由图象可得的单调减区间为.-16-\n考点2二倍角公式的运用公式的应用【2-1】【2022浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．【答案】【解析】因为，，所以因为，所以，因此.【2-2】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．【答案】【2-3】已知，且，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以，，，又因为，所以.【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；-16-\n（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【触类旁通】【变式一】已知，（1）求的值；（2）求的值．【变式二】已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二倍角公式得，整理得，因此，由于，，，，故答案为A．考点3三角恒等式的证明-16-\n【3-1】求证：＝sin2α.【解析】∵左边＝＝＝＝＝cosαsincos＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．【3-2】求证：＝－2cos(α＋β).【3-3】已知，，且，.证明：.【解析】，即，，，，又，，-16-\n，，，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－；＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等【触类旁通】【变式一】求证：.【解析】左边＝＋-16-\n故原式得证．【变式二】已知，证明：.【解析】左边右边.故原命题成立.考点4三角函数的综合应用【4-1】【2022湖北省部分重点中学起点】设函数f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ，其中θ∈[0,5π12]，则导数f′(1)的取值范围是________．-16-\n【答案】[2，2]【4-2】【2022浙江温州二模】已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若-π2<α<0，f(α)=56，求sin2α的值.【答案】（1）π；（2）3-226.【解析】试题解析：（1）f(x)=32sin2x+cos2x+12=sin(2x+π6)+12∴函数f(x)的最小正周期是π（2）f(α)=sin(2α+π6)+12=56∴sin(2α+π6)=13，-π2<α<0，∴-5π6<2α+π6<π6，又sin(2α+π6)>0.∴0<2α+π6<π6∴cos(2α+π6)=223，∴sin2α=sin((2α+π6)-π6)=32sin(2α+π6)-12cos(2α+π6)=3-226.【4-3】【2022江苏海安上学期第一次测试】已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，x∈[0,π].（1）若a//b，求x的值；（2）记f(x)=a⋅b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．【答案】(1)x=5π6;(2)当x=0时，f(x)取到最大值3；当x=5π6时，f(x)取到最小值-23..【解析】试题分析：（1）依据题设条件a//b建立方程-3cosx=3sinx分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数fx=a⋅b=3cosx-3sinx=23cos(x+π6)，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：解：（1）因为a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，a//b，所以-3cosx=3sinx.-16-\n若cosx=0，则sinx=0，与sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx≠0.于是tanx=-33.又x∈[0,π]，所以x=5π6.【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【2022浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y轴交于点,与x轴交于点B,C,且的面积为．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若,求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).-16-\n【解析】试题分析：试题解析：(Ⅰ)因为,所以周期，，由,得,因为,所以,所以；(Ⅱ)由,得,所以.【易错试题常警惕】易错典例：若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sinθ＋cosθ＝，-16-\n温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】在平面坐标系中，直线与圆相交于,（在第一象限）两个不同的点，且则的值是（）A．B．C．D．【答案】A-16-\n∴．-16-
