4-5简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为( )A．2 B. C．1 D.[答案] C[解析] 由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝( )A．－ B．－ C．－2 D.[答案] C[解析] ∵点P在直线y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.2．设<θ<π，且|cosθ|＝，那么sin的值为( )A.B．－C．－D.[答案] D[解析] ∵<θ<π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－.∵<<，∴sin>0，又cosθ＝1－2sin2，∴sin2＝＝，∴sin＝.3．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tan＋tan＋tan·tan的值是( )12\nA．±B．－C.D.[答案] C[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝，∴tan＋tan＋tan·tan＝tan＋tantan＝，故选C.4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案] B[解析] ∵sinAsinB＝cos2，∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．5．若cos(x＋y)cos(x－y)＝，则cos2x－sin2y等于( )A．－B.C．－D.[答案] B[解析] ∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)·sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2y，∴选B.6．(2011·石家庄模拟)若α、β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(－β)＝－12\n，则cos(α＋β)的值等于( )A．－B．－C.D.[答案] B[解析] 由α、β∈(0，)得，α－∈(－，)，－β∈(－，)．又cos(α－)＝，sin(－β)＝－，∴α－＝±，－β＝－，∵α，β∈(0，)，∴α＝β＝，∴cos(α＋β)＝－.7．已知sinα＝，cosβ＝，其中α、β∈(0，)，则α＋β＝________.[答案] [解析] ∵α，β∈(0，)，sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.8．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．[答案] [解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，∵0<α<，∴<α＋<，又cos(α＋)＝，12\n∴sin(α＋)＝＝，∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝，cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1＝2×()2－1＝，∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝×－×＝.[点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．9．(2011·海南五校联考)设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________.[答案] －[解析] ∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，由f(x)＝2f′(x)得sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，∴tanx＝，∴＝＝tan2x－2tanx＝()2－2×＝－.10．(文)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[－，]上的最大值和最小值．[解析] (1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1，∴f(x)的最小正周期为2π.12\n(2)f(x)在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，又f(－)<f()，∴x＝－时，f(x)有最小值f(－)＝sin(－)＋1＝；x＝时，f(x)有最大值f()＝sin＋1＝2.(理)(2011·天津理，15)已知函数f(x)＝tan(2x＋)，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)的最小正周期为.(2)由f＝2cos2α得，tan＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.能力拓展提升11.(2012·北京海淀期中练习)已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．钝角三角形[答案] C12\n[解析] 由题意得，cosAcosB＝·2sin2⇒cosA·cosB＝⇒2cosA·cosB＝1＋cos(A＋B)⇒2cosA·cosB＝1＋cosA·cosB－sinA·sinB⇒cosA·cosB＋sinA·sinB＝1⇒cos(A－B)＝1⇒A－B＝0⇒A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形，故选C.12．(2011·浙江杭州质检)已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于( )A．－B．－C．－D.[答案] A[解析] 由已知得＝，解得tanα＝－，即＝－，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－<α<0，可得sinα＝－，所以＝＝2sinα＝2×(－)＝－，故选A.13．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC的内角，且tanα＝－，则sin2α的值为________．[答案] －[解析] ∵tanα＝－，∴sin2α＝12\n＝＝＝－.14.(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________.[答案] [解析] 设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝，∴OD＝，∴CD＝r，∴tanθ＝＝，∵tanθ＝，∴tan＝(负值舍去)，∴tan2＝.(理)＝________.[答案] －4[解析] ＝＝＝－4.15．(文)已知A、B、C是三角形ABC的三个内角，向量m＝(－，)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝.(1)求角A；(2)若sin2B＋3cos2B＝－1，求tanC.12\n[解析] (1)m·n＝(－，)·(cosA，sinA)＝－cosA＋sinA＝sin(A－)＝，又在△ABC中，－<A－<，∴A－＝，∴A＝.(2)∵sin2B＋3cos2B＝－1，∴2sinBcosB＋3(cos2B－sin2B)＝－(sin2B＋cos2B)，∴sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，∵cosB≠0，∴方程两边同除以cos2B得tan2B－tanB－2＝0.∴tanB＝－1或tanB＝2，1°若tanB＝－1，则B＝，这时A＋B＝＋>π，这与A＋B<π矛盾．2°若tanB＝2，这时tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝.(理)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值．[解析] (1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝＝sin.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值－1.16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．12\n[解析] (1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，因为C为锐角，所以C＝，在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.(理)(2012·湖南文，18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．[解析] (1)由题设图象知，周期T＝2(－)＝π，所以ω＝＝2.因为点(，0)在函数图象上，12\n所以Asin(2×＋φ)＝0，即sin(＋φ)＝0.又因为0<φ<，所以<＋φ<.从而＋φ＝π，即φ＝.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．(2)g(x)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]＝2sin2x－2sin(2x＋)＝2sin2x－2(sin2x＋cos2x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.[点评] 本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求解析式的一般步骤是：确定周期求ω求φ求A―→确定解析式．1．(2012·湖南理，6)函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为( )A．[－2,2]B．[－，]C．[－1,1]D．[－，][答案] B12\n[解析] 由题意知，f(x)＝sinx－cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＝(sinx－cosx)＝sin(x－)，∴f(x)∈[－，]．2．(2012·大纲全国文)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y＝sin是偶函数知＝＋kπ，即φ＝＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝适合．本题也可用偶函数定义求解．3．已知tan＝3，则cosα＝( )A.B．－C.D．－[答案] B[解析] cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－，故选B.4．(2012·河北保定模拟)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A．f(x)在(0，)上单调递增B．f(x)在(0，)上单调递减C．f(x)在(，)上单调递减D．f(x)在(，)上单调递增[答案] B12\n[解析] ∵f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ＋)，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x，故选B.5．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] (1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－)2－，x∈R因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.12
