课后限时集训(二十八) 简单的三角恒等变换建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·赤峰模拟)tan15°－＝( )A．－B．2C．－2D．4C [tan15°－＝－＝＝＝－2，故选C．]2.＝( )A．2B．C．D．1D [原式＝＝＝1，故选D．]3．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A [因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin2α＝2sin2β，所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A．]4．(2020·赣州模拟)若cos78°＝m，则sin(－51°)＝( )A．－B．－C．D．\nA [由cos78°＝m，得cos102°＝cos(180°－78°)＝－cos78°＝－m.又cos102°＝1－2sin251°，∴sin251°＝，∴sin51°＝，∴sin(－51°)＝－sin51°＝－，故选A．]5．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sinB＝，则A＋B＝( )A．B．C．D．C [sin2＋cos＝＋＝，整理得sinA＝.又A，B均为钝角，∴cosA＝－，cosB＝－，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝×－×＝.又π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝，故选C．]6．在上，满足方程sin＝cos的x值为( )A．B．±C．D．±C [由sin＝cos得cos2x＝sinx，即2sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝或sinx＝－1.由于x∈，∴sinx＝，\n∴x＝，故选C．]二、填空题7．化简：＝.4sinα [＝＝＝4sinα.]8．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝.－π [依题意有∴tan(α＋β)＝＝＝1.又∴tanα＜0且tanβ＜0，∴－＜α＜0且－＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.]9．函数y＝sinxcos的最小正周期是．π [y＝sinxcos＝sinxcosx－sin2x＝sin2x－·＝sin－，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.]三、解答题10．已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．\n[解] (1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.(2)∵α∈，∴2α∈，又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.11．已知0＜α＜＜β＜π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．[解] (1)∵cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.\n(2)∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β－＜，＜α＋β＜，∴sin＞0，cos(α＋β)＜0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.1．已知cos＝－，则sin的值为( )A．B．±C．－D．B [∵cos＝－，∴cos＝cos＝－cos＝，即1－2sin2＝，即sin2＝，∴sin＝±.]2．(2020·广西玉林模拟)若α∈(0,2π)，则满足4sinα－＝4cosα－的所有α的和为( )A．B．2πC．D．D [由4sinα－＝4cosα－得\n4(sinα－cosα)＝－＝.∴sinα－cosα＝0或4sinαcosα＝1，即tanα＝1或sin2α＝.∵α∈(0,2π)，∴α＝，，，，，，∴满足条件的所有α的和为＋＋＋＋＋＝，故选D．]3．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求tan2α的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．[解] (1)角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，∴tanα＝＝，cosα＝－，sinα＝－，∴tan2α＝＝＝－.(2)若角β满足sin(α＋β)＝，则cos(α＋β)＝±＝±.当cos(α＋β)＝时，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－.当cos(α＋β)＝－时，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×\n＋×＝.
