课时作业21 简单的三角恒等变换一、选择题1．已知tanα＝2，那么sin2α的值是( )A．－B.C．－D.解析：sin2α＝2sinαcosα＝＝＝.答案：B2．已知a∈(0，)，cosα＝，则cos(α＋)等于( )A.－B．1－C．－＋D．－1＋解析：∵α∈(0，)，cosα＝，∴sinα＝，∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝－.答案：A3．若α∈(，π)，则3cos2α＝sin(－α)，则sin2α的值为( )A.B．－C.D．－解析：由3cos2α＝sin(－α)得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα7\n)，从而3(cosα＋sinα)＝，即cosα＋sinα＝平方得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.答案：D4.的值是( )A.B.C.D.解析：原式＝＝＝＝.答案：C5．已知sin＋sinα＝－，则cos等于( )A．－B．－C.D.解析：由sin＋sinα＝－，得sinα＋cosα＋sinα＝－，所以sinα＋cosα＝－，故sin＝－，于是sin＝－，所以cos＝cos＝－sin＝.答案：D6．函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )7\nA．[－2,2]B．[－，]C．[－1,1]D.解析：f(x)＝sinx－cosx＋sinx＝＝sin.x∈R，所以x－∈R，所以f(x)∈[－，]，故选B.答案：B二、填空题7．已知tan＝2，则的值为________．解析：由tan＝2，得＝2，∴tanx＝，∴＝＝＝＝.答案：8．已知sin＝，则cos＝________.解析：cos＝2cos2－1，又cos＝sin＝，所以cos＝－.答案：－9．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析：f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.7\n答案：－三、解答题10．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈(－，)．(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f()＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．解：(1)f(x)＝sin(x＋)＋cos(x＋)＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin(－x)，因为x∈[0，π]，从而－x∈[－，]故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2)由得又θ∈(－，)知cosθ≠0，解得11．已知f(x)＝2cos－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α，β∈，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．解：(1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，f(x)的最小正周期T＝2π.(2)因为2sin＝2，sin＝1，<α＋<，所以α＋＝，α＝.2sin＝，sin＝，<β＋<，因为<，所以<β＋<，cos＝，所以7\nf(α＋β)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝2cos＝2coscos＋2sinsin＝.1．已知sin2α＝，则cos2＝( )A. B．－ C. D．－解析：cos2＝＝＝＝，故选C.答案：C2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝解析：∵tanα＝＝＝＝＝tan(＋)，且0<α<，<＋<，∴α＝＋即2α－β＝，选B.答案：B7\n3．如图所示，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知PA＝5，PB＝3，PC＝，设∠APB＝α，∠APC＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以∠ABP＝90°，所以cosα＝＝，sinα＝，所以tanα＝.因为cos∠CPB＝cos(α－β)＝＝＝，所以sin(α－β)＝，所以tan(α－β)＝，tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝1.又β∈，所以β＝.答案：4．已知函数f(x)＝2sin2(x＋)－2cos(x－)－5a＋2.(1)设t＝sinx＋cosx，将函数f(x)表示为关于t的函数g(t)，求g(t)的解析式；(2)对任意x∈[0，]，不等式f(x)≥6－2a恒成立，求a的取值范围．解：(1)f(x)＝1－cos(2x＋)－2(cosx＋sinx)－5a＋2＝sin2x－2(cosx＋sinx)－5a7\n＋3.因为t＝sinx＋cosx，所以sin2x＝t2－1，其中t∈[－，]，即g(t)＝t2－2t－5a＋2，t∈[－，]．(2)由(1)知，当x∈[0，]时，t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[1，]，又g(t)＝t2－2t－5a＋2＝(t－1)2－5a＋1在区间[1，]上单调递增，所以g(t)min＝g(1)＝1－5a，从而f(x)min＝1－5a，要使不等式f(x)≥6－2a在区间[0，]上恒成立，只要1－5a≥6－2a，解得a≤－.7
